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Morphismes de groupes

Posté par
paulette11
24-02-21 à 09:43

Bonjour,

Je dois chercher tous les morphismes de groupes Z/nZ -> Z et réciproquement ceux de Z -> Z/nZ.

Cependant, je ne vois pas du tout comment procéder...

Pouvez-vous m'aider, s'il vous plaît ?

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 09:45

salut

que doit vérifier un morphisme de groupe ?

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 10:21

f(e)=e', f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x)f(y) avec e le neutre de l'ensemble de départ et e' celui de l'ensemble d'arrivée  

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 10:39

donc ici tu en déduis quoi ?

et avec ce que tu dis ici on travaille avec des groupes additifs ou multiplicatifs ?

donc donne-nous les propriétés adéquates et pas plus ...

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 11:11

Je ne vois pas ce que je dois en déduire..

Je pense qu'on considère des groupes additifs, donc f(e)=e' et f(x+y)=f(x)+f(y)

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 11:45

ici tu n'as pas des groupes quelconques mais Z/nZ et Z

quels sont leur neutres ?

posons f(1) = p

f(1 + 1) = ... ?

f(1 + 1 + 1) = ... ?

f(1 + 1 + ... + 1) = ... ?     (avec n "1")

...

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 12:02

Leur neutres sont 0 ?

f(1 + 1) = f(1)+f(1)

f(1 + 1 + 1) = f(1)+f(1)+f(1)

f(1 + 1 + ... + 1) = f(1)+f(1)+...+f(1)  (avec n "f(1)")

Mais je ne vois pas vraiment où vous voulez en venir ?

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 12:04

sais-tu ce qu'est le groupe Z/nZ ?

carpediem @ 24-02-2021 à 11:45

posons f(1) = p

f(1 + 1) = ... ?

f(1 + 1 + 1) = ... ?

f(1 + 1 + ... + 1) = ... ?     (avec n "1")

...

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 12:16

Oui, Z/nZ={0, ..., n-1} est un anneau commutatif

Désolée..:
f(1 + 1) = 2p

f(1 + 1 + 1) = 3p

f(1 + 1 + ... + 1) = np

Posté par
ThierryPoma
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 12:45

@Carpi : bonjour. J'espère que tu vas bien, ainsi que tes proches. Ce qu'a écrit l'initiateur du fil, ici-même Morphismes de groupes , est faux.

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 13:51

salut TP, j'espère que tu vas bien toit aussi ! moi ça va

je ne vois pas en quoi c'est faux mis à part le fait de donner un résultat inutile dans le cas présent

paulette11 : et 1 + 1 + .. + 1 = ... ? (avec n "1")

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 13:52

ThierryPoma Quelle erreur ai-je fait ?

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 14:01

carpediem Dans Z/nZ, ça fait 0

Posté par
ThierryPoma
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 14:10

Soit G et G' des groupes de neutres respectifs e et e'. Les lois internes sont notées multiplicativement. Alors, f:G\to{}G' est un morphisme de groupes si f(x.y)=f(x).f(y) quels que soient x, y\in{}G.

f(e)=e' se prouve facilement. Inutile d'en dire plus.

Enfin, je ne vois pas ce que vient faire ce f(x+y)=f(x)+f(y). N'y aurait-il pas confusion avec les morphismes d'anneaux ?

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 14:46

ThierryPoma : ici on travaille avec des groupes additifs donc ici ce qu'on veut c'est f(x + y) = f(x) + f(y)  (*)

quant à la relation f(e) = e' qui se déduit effectivement de (*) dans un groupe elle y est dans la définition d'un morphisme de monoïde et je pense qu'on peut la mettre aussi ...

sans cette relation on aboutit immédiatement à des contradictions et la plupart du temps elle est donc donnée dans la définition "de base" aux néophytes (pour gagner du temps)

et un premier exo est très souvent de démontrer que seule (*) suffit (quand on a le temps !!)

mais il est bon de la faire écrire immédiatement ... actuellement ...

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 15:53

Excusez-moi mais je ne vois pas comment tout cela montre qu'on a tous les morphismes Z/nZ->Z

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 18:01

ben plutôt qu'on n'en a pas ... ou plutôt il n'y en a qu'un seul (à toi de trouver)

puisque f(n.1) = f(0) = np 0

or f(0) = 0

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 18:32

Je suppose que c'est la fonction nulle, mais je ne comprends pas la démarche...

Pourquoi utiliser f(n.1) ?

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 18:46

oui pour le morphisme nul ...

pour arriver à une contradiction si ce n'est pas le morphisme nul ...

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 19:11

Oui mais comment justifier l'utilisation des 1 et donc du 1.n ?

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 19:14

tu peux prendre 1 ou n'importe quel entier k non nul !!

si f(k) = p alors f(nk) = np et f(nk) = f(0)

car nk = 0 dans Z/nZ ...

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 24-02-21 à 22:58

D'accord merci

Pour les morphismes Z -> Z/nZ, j'ai procédé de la même manière en sachant que Z est engendré par 1. Je trouve donc f(n)=n.f(1).
Cependant, je ne vois pas comment « arriver » dans Z/nZ..

Est-ce que le début est correct ?
Pouvez-vous m'aider pour la suite ?

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 25-02-21 à 08:26

pour tout p tu as f(p) = p.f(1)

et si p = n tu as f(n) = f(0) = n.f(1) = 0 donc il n'ya aucun pb ...

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 25-02-21 à 08:26

et donc conclusion ?

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 25-02-21 à 09:41

Donc Z/nZ

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 25-02-21 à 11:03

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 25-02-21 à 11:47

Les morphismes f sont isomorphes à Z/nZ

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 25-02-21 à 12:25

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 25-02-21 à 13:04

On peut être plus précis ?

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 25-02-21 à 13:45

tu cherches les morphismes f du groupe (Z, +) dans le (Z/nZ, +)

par définition f(0) = 0 et pour tout x et y : f(x + y) = f(x) + f(y)    (*)

tu as dit que 1 est un générateur donc si on décide de noter p l'image de 1 : p = f(1)

quelle est l'image d'un entier k de Z?
f vérifie-t-il la relation (*) ?

donc quels sont les morphismes de (Z, +) dans (Z/nZ, +) ?

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 25-02-21 à 15:21

L'image d'un entier k de Z est f(k)=kp
Et oui f vérifie la relation f(x + y) = f(x) + f(y)

Donc ce sont des fonctions affines...?

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 25-02-21 à 15:54

Linéaires*

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 25-02-21 à 18:22

f telles que f(x + y) = f(x) + f(y) est évidemment linéaire ...

Posté par
paulette11
re : Morphismes de groupes 25-02-21 à 19:22

Je ne vois pas comment qualifier les morphismes autrement...

Posté par
carpediem
re : Morphismes de groupes 25-02-21 à 20:19

tout morphisme de Z dans Z/nZ est défini simplement par la donnée de f(1) ... épictou !!!



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