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Moyenne Arithmético-geometriques
a et b designet deux réels tels que 0 < a < b
A- g = racine de ab est leur moyenne géometrique
m = (a+b)/2 est leur moyenne arithmétique
Demontrer que a < g < m < b.
B- Les suites (an) avec n E N et (bn) avec n E N sont 2 suites définies par :
a0 = a et pout tout n de N, an+1 = racine de anbn
b0 = b et pout tout n de N, bn+1 = (an+bn)/2
1.a)Expliquer pourquoi pour tout n de N, an est inferieur ou egal a bn
b) Deduire de la question A. que la suite (an) n E N est croissante et que la suite (bn) n E N est décroissante.
c) Deduire de la question A. que:
bn+an -2 racine de anbn < bn - an;
puis que : bn+1 - an+1 est inferieur ou egal a (bn - an)/2
d) En deduire que pour tout entier naturel n, bn - an inferieur ou egal à (b-a)/2^n
En déduire que les suites (an) n E N et (bn) n E N sont adjacentes.
2. Avec une calculatrice ou un tableur, donner un encadrement d'amplitude inférieure a 10^-5, de la limite commune l aux deux suites (an) n E N et (bn) n E N dans chacun des cas suivants:
a) a=1 et b=2
b) a=1 et b=10
c) a=2 et b=8
d) a=0 et b=1000
Merci d'avance a la personne qui m'aidera a résoudre ce problème!
Tu devrais trouver ce que tu as besoin en
<A HREF="https://www.ilemaths.net/sujet-relation-d-odre-seconde-15582.html">Cliquant ici</A>
Merci, ca ma vraimt bcp aider!!! Car pr resoudre cet exercice j avais demontrer par un exemple, or on en a pas le droit!!
Si toutefois je rencontre un probleme pr la suite je reviendrai!!
Merci bcp!!! (k)
slt
j ai essaye de faire ton exo juste pour m entrainer car je boss dessus en ce moment et je n ai pas reussi a le terminer a partir du B
Alors est ce k il y aurai kk1 pour m aider svp??
MERCI beaucoup.
Voila SHADOW
B
1a)
Conséquence directe du point A.
a(n+1) est le moyenne géométrique de a(n) et b(n)
b(n+1) est le moyenne arithmétique de a(n) et b(n)
si on a 0 < a(n) < b(n), par le point A, on a aussi 0 < a(n) < g(n) < m(n) < b(n)
Or g(n) = a(n+1) et m(n) = b(n+1)
-> 0 < a(n) < a(n+1) < b(n+1) < b(n)
Donc: Si on a 0 < a(n) < b(n), on a aussi 0 < a(n+1) < b(n+1)
Comme 0 < a(n) < b(n) est vrai pour n = 0, c'est encore vrai pour n = 1
Comme 0 < a(n) < b(n) est vrai pour n = 1, c'est encore vrai pour n = 2
Et ainsi de proche en proche, 0 < a(n) < b(n) est vrai pour tout n de N
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b)
On a montré ci dessus que 0 < a(n) < a(n+1) < b(n+1) < b(n)
Donc a(n) < a(n+1) -> an est croissante
et b(n+1) < b(n) -> bn est décroissante.
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c)
A ->
an < V(anbn) (V pour racine carrée).
2an < 2V(anbn)
an < 2V(anbn) - an
bn + an < 2V(anbn) + bn - an
bn + an - 2V(anbn) < bn - an
---
b(n+1) = (an+bn)/2
a(n+1) = V(an.bn)
b(n+1) - a(n+1) = (an+bn)/2 - V(an.bn)
Comme an < V(an.bn) , on a:
b(n+1) - a(n+1) < (an+bn)/2 - an
b(n+1) - a(n+1) < (-an+bn)/2
b(n+1) - a(n+1) < (bn-an)/2
-----
d)
b(n+1) - a(n+1) < (bn-an)/2
b1 - a1 < (b0 - a0)/2 Or a0 = a et b0 = b ->
b1 - a1 < (b - a)/2
b2 - a2 < (b1 - a1)/2
b2 - a2 < (b - a)/2²
b3 - a3< (b2 - a2)/2
b3 - a3 < (b - a)/2³
...
bn - an < (b - a)/(2^n)
lim(n->oo) [bn - an] = (b-a)/oo = 0
-> lim(n->oo) bn = lim(n->oo) an
bn et an convergent vers la même limite, l'une est croissante et l'autre est décroissante ->
les suites an et bn sont adjacentes.
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Sauf distraction. 
slt!
je vous remerci J.P. de m avoir repondu c vraiment sympat mais il y a kk points ke je n ai pas tres bien compris:
-b(n+1) - a(n+1) = (an+bn)/2 - V(an.bn)
Comme an < V(an.bn) , on a:
b(n+1) - a(n+1) < (an+bn)/2 - an
b(n+1) - a(n+1) < (-an+bn)/2
b(n+1) - a(n+1) < (bn-an)/2
je n ai pas compris pourquoi vous avez en kk sort remplace an par V(an.bn)
-ds la derniere partie (le calcule des limite) pourquoi aviez vous pris la lim(n->00)?
je vous remerci encore de m avoir offert votre aide
De manière générale, lorsqu'on a une égalité, par exemple:
A - B = C - D
Si dans le membre de droite, on remplace D par une quantité E plus petite que D. (soit E < D)
On a alors le membre de droite qui grandit (puisqu'on retire une quantité plus petite).
et on peut alors écrire que le membre de droite est plus grand que celui de gauche.
Il vient A - B < C - E
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Si tu le fais avec des nombres, c'est encore plus évident, un exemple:
On a l'égalité:
9 - 4 = 10 - 5
Si on remplace 5 par une quantité plus petite que 5, par exemple 3, on a alors:
9 - 4 < 10 - 3
C'est en quelque sorte ce que j'ai fait dans l'exercice.
OK ?
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Pour la limite en + oo (+ l'infini).
C'est du à la notion de convergence.
Si une suite Un converge, elle converge vers une valeur calculée par lim(n-> oo) U(n)
C'est logique, la suite converge vers la valeur que ses termes prennent lorsque n devient très grand.
OK ?
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