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moyenne arithmétique et géométrie (seconde)
Bonjour
x et y étant deux réels positifs ou nuls on définit leur moyenne arithmétique m = x + y / 2 et leur moyenne géométrique g = racine carré de xy.
1) Calculer m et g en choisissant x = 24 et y = 30.
2) Les points A, H et B alignés dans cet ordre, sont tels que HA = 24 et HB = 30 (distance en mm). On désigne par C l'un des deux demi-cercles de diamètre [AB]. La droite perpendiculaire à (AB) en H coupe C en M. On nomme I et J les milieux respectifs des segments [MA] et [MB].
a) faire une figure.
b) Démontrer que la distance IJ est la moyenne arithmétique des distances HA et HB
c) Enoncer la propriété permettant d'affirmer que le triangle AMB est rectangle.
d) Démontrer l'égalité AMH = MBH ; en déduire grâce à la trigonométrie que HA/HM = HM/HB.
En déduire que la distance HM est la moyenne géométrique des distances HA et HB
1) m = 24 + 30/2 = 54/2 = 27
g = (racine de 24 x 30) = (racine de 24) x (racine de 30)
g = (racine de 6 x 4) x (racine de 5 x 6)
g : (2 racine de 6 x 6) x (racine de 5 x 6)
Alors là je ne sais plus....
a) j'ai fait la figure.
Mais pour le reste je suis complètement noyée. Moi et les démonstrations, nous sommes fâchées.
Pouvez-vous m'aider SVP. Merci
Stella (seconde)
1)
m = (24+30)/2 = 27
g = V(24*30) = 12.V5 = 26,83... (V pour racine carrée).
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2)
[IJ] joint les milieux de 2 cotés du triangles ABC, [AB] est donc parallèle au 3 ème coté du triangle et en vaut la moitié.
-> IJ = AB/2
IJ = (HA + HB)/2
et donc IJ est la moyenne arithmétique de HA et HB.
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c)
AB est un diamètre du cercle C passant par M, et donc l'angle (AMB) est droit.
-> le triangle AMB est rectangle en M
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d)
Les angles(AMH) et (MBH) ont leurs cotés perpendiculaires ->
angle(AMH) = angle(MBH)
angle(AHM) = angle(MHB) = 90°
Les triangles AHM et MHB ont 2 angles égaux 2 à 2 -> les triangles sont sembables.
On a donc: HA/HM = HM/HB
HM² = HA.HB
HM = V(HA.HB)
Et HM est la moyenne géométrique de HA et HB
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Sauf distraction. 
Bonjour,
1)
pour g, on peut utilise 24=2^3*3 et 30=2*3*5 et en déduire que g=2²*3*racine(5)=12racine(5)
2b)
I est milieu de [MA] et J milieu de [MB] donc IJ=AB/2 (La longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés ...)(4ème).
Or AB=HA+HB donc...
2c)
"D'un point d'un cercle, on voit un diamètre sous un angle droit" est un énoncé ancien : chercher l'énoncé actualisé (4ème).
2d)
On peut considérer les triangles rectangles AHM et BHM : les angles AMH et MBH ont même complément BAM et sont donc égaux.
En considérant les mêmes triangles : tan(AMH)=HA/HM et tan(MBH)=HM/HB. Or... donc...
De HA/HM = HM/HB, on déduit que HM²=HA.HB donc...
Simple remarque.
Apprendre à démontrer n'est pas simple.
Des exemples de démos en trois actes sont proposés sur mon site (conjecturer, compléter un schéma, ordonner le rédaction d'une démonstration).
PS
Scuses JP :tu es encore le plus rapide... J'ai collé la réponse que j'avais préparée
Bonjour
Merci à vous deux.
Comme d'habitude J-P, tu es toujours aussi rapide et tu m'as enlevé une aiguille du pied.
Mais n'y a-t-il pas une autre manière d'expliquer "Les triangles AHM et MHB ont 2 angles égaux 2 à 2 -> les triangles sont sembables." Ma fille n'a pas encore abordé ça.
Dasson, je suis allée sur ton site. Il est très bien fait. Mais je ne sais pas où chercher l'énoncé actualisé (4ème).
PS : Je suis une chti d'adoption (j'habite Arras).
@ bientôt
Stella
Bonjours Stella.
Je ne connais pas les programmes scolaires.
Les triangles semblables (aujourdh'hui on dit plutôt triangles de même forme) ne sont pas vus en seconde ?
ou ce sont mes explications qui sont trop succinctes.
Salut Dasson,
Pas de problème, cela ne me gène jamais d'avoir d'autres solutions que les miennes, cela apporte en général un grand plus pour l'étudiant d'avoir plusieurs manières d'aborder les problèmes.
Pas de problème J-P pour l'orthographe. 
Je ne pense pas que cela soit l'âge, ce ne serait pas plutôt une baisse de régime. Et on sait que cela arrive même aux meilleurs....
Stella
PS : Peut-être que tes explications sont trop succintes pour moi... (seulement pour moi)
"Les triangles AHM et MHB ont 2 angles égaux 2 à 2 -> les triangles sont sembables."
En plus détaillé:
Les angles(AMH) et (MBH) ont leurs cotés perpendiculaires ->
angle(AMH) = angle(MBH)
angle(AHM) = angle(MHB) = 90° par hypothèse.
La somme des angles dans n'importe quel triangle = 180°
-> donc si 2 triangles ont 2 de leurs angles égaux 2 à 2, leurs troisièmes angles sont forcément égaux.
De ce qui précède, on voit que:
Les triangles (AMH) et MBH) ont leurs angles égaux 2 à 2 et ces 2 triangles sont donc semblables (de même forme).
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