Etant donné une suite , la moyenne des premiers termes est



De manière générale, le Lemme de Cesàro dit en effet que si converge, alors la suite aussi, vers la même limite.

Pour un contre-exemple intuitif, on peut s'intéresser à une suite périodique non constante. Intuitivement, on sent que pour des grands entiers naturels non nuls , la moyenne des premiers termes va tendre vers la valeur moyenne que prend la suite sur une période.
L'exemple le plus simple, c'est de regarder le suite définie par . Celle-ci ne converge pas, mais va tendre vers 0.

Cela peut être un exercice intéressant pour toi, d'ailleurs, de montrer le résultat suivant :

Soit une suite périodique de période , c'est-à-dire telle que pour tout . On pose .

Montrer que .

Pour ce faire, il faut revenir à la définition de limite, et travailler avec des . Pour , on pourra aussi effectuer la division euclidienne de par ...

Pour ce qui est de ta deuxième question au sujet des coefficients, ici dans le bout de cours que tu partages, on s'intéresse au cas particulier où la suite correspond en fait déjà à la somme des premiers termes d'une suite . Il s'agit donc simplement de réécrire la somme des directement en fonction des . A mon sens, il n'est pas hyper intéressant de regarder le cas où est une somme partielle d'une série numérique... Les séries sont des suites, après tout...

Merci pour les explications et pour l'exo , j'y plongerai dessus demain ! Je mettrais mes réponses ici d'ici là

Bonne soirée à toi

Alors du coup, pour l'exo, en fait, il suffit de majorer par un truc qui tend vers 0, même pas besoin de .
Si tu galères un peu, pense au fait que tu peux écrire tout ainsi : , avec et ; puis à découper la somme en paquets de termes successifs

Pas de souci, c'est avec plaisir. Bonne soirée également.