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Niveau autre
moyenne de distribution d échantillonnage
Posté par syrah
Bonjour,
Dans un entrepôt, il y a 1000 tiges d'acier; la longueur moyenne de ces tiges est de 125 cm avec un écart type de 7,5 cm. On choisit un échantillon de 100 tiges. Dans quel intervalle, centré sur la moyenne de la distribution d'échantillonnage, la moyenne de l'échantillon a-t-elle une probabilité de 0,50 de se situer?
J'ai calculé l'erreur type, qui vaut 7,5/10 = 0,75 cm
Après je sèche...
Merci de m'aider
Salut syrah 
,
En notant: 
= 125 (vraie moyenne)
= moyenne de l'échantillon (inconnue)
= 7.5 (vrai écart-type)
n = 100 (taille de l'échantillon)
N=1000 (taille de la population)
La variable aléatoire Xbarre a pour espérance E(Xbarre) = =125
----------------------------------- variance V(Xbarre) = ² / n
En fait il y a deux possibilités pour la variance:
-échantillonage avec remise, la formule est celle que j'ai écrite
-échantillonage sans remise, il faut alors appliquer le coefficient d'exhaustivité = (N-n)/(N-1), ce qui donne:
V(Xbarre) = [² / n] * [(N-n)/(N-1)]
Si tu as trouvé 0.75, c'est que tu as appliqué la première formule.
Ensuite, il s'agit de déterminer l'intervalle contenant avec une probabilité de 0.5.
On suppose que la distribution des tiges d'acier suit une certaine loi L inconnue. Dans ce cas, la variable Xbarre suit une loi normale:
Xbarre 
N(; [² / n])
Pour aller plus loin:
= [ - ] / 
[² / n] N(0;1) (on a fait une opération de centrage-réduction)
Je note u
, le fractile de niveau associée à la loi N(0;1).
On peut alors écrire :
P( u0.25 < < u0.75)
probabilité=0.5 que soit dans l'intervalle
Ce qui donne:
P( u0.25 * [² / n] < - < u0.75 * [² / n])
Et donc:
P( - u0.75 * [² / n] < < + u0.75 * [² / n])
Voilà calculs à revérifier néanmoins.
A+
C'est le fractile associé à la loi normale. Il existe des tables (abaques) qui donnent ces valeurs. Par exemple, u0.75 0.675.
Tu peux voir ici 
.
Tu cherches la valeur pour laquelle la proba vaut 0.75 (approximativement) t tu trouves alors u0.75
Merci,
Mais j'ai toujours un problème. Bien sûr, j'ai connaissance de cette table. Mais pourquoi le u0.75 n'est pas 0.7734?
Où je suis
après moi, c'est que j'ai la réponse (125 +/- 0,477 cm), mais que même avec cet indice, je n'arrive pas à retrouver la solution. J'ai vu que 0,477 correspond à Z=2, mais........Je cherche encore, mais j'avoue que je me trouve..............=0
Bon...., j'ai maintenant compris que vaut 0,675. Donc, (- )= 0,675 * 0.75 = 0,50625. Donc = + 0,50625. Mais c'est faux.... Arghhhh!
Mon calcul:
V(Xbarre) = (7,5²/100)*(1000-900/1000-1) = 0,507
racine (V(Xbarre)) = racine (0,507) = 0,712 ( c'est l'écrat-type)
0,712 * u0,75 = 0,712*0,67 = 0,4769 (ton résultat)
Voilà en espérant t'avoir aidé! 
A+
Bien oui, MERCI!
J'ai aussi, grâce à toi, compris mon erreur: je n'ai pas tenu compte du fait que la population était finie. J'ai appris que si l'échantillon est 
30, on pouvait le négliger. En effet, ils en ont tenu compte dans la solution, et je n'y avais pas pensé...
Merci à toi et bon après-midi!