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Moyennes: arithmétique, géométrique et harmonique

Posté par
Yona07
18-11-21 à 20:54

Bonjour!

Soient 0<a\leq b\leq c trois réels et définissons les suites (a_n)_{n\in N}, (b_n)_{n\in N}, (c_n)_{n\in N} par:

a_0=a, b_0=b, c_0=c et pour tout n:

\frac{3}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+ \frac{1}{b_n}+ \frac{1}{c_n}\\ b_{n+1}=\sqrt[3]{a_nb_nc_n}\\ c_{n+1}=\frac{a_n+b_n+c_n}{3}

Montrer que (a_n)_{n\in N}, (b_n)_{n\in N}, (c_n)_{n\in N}  sont monotones et que les trois suites convergent vers la même limite.

J'enverrai ce que j'ai fait en qq minutes dans le message suivant.

Merci d'avance!

Posté par
Yona07
re : Moyennes: arithmétique, géométrique et harmonique 18-11-21 à 22:09

1ière partie:


\text{Soient }\alpha , \beta \text{ et } \gamma \text{ trois réels strictement positifs. Posons: }\\\\\vartheta =\frac{3}{\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma }}; \;\;\; \mu =\sqrt[3]{\alpha \beta \gamma } \text{ et }\nu =\frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}\\\\ \text{Montrons que: }0< \alpha \leq \beta \leq \gamma \Rightarrow \vartheta \leq \mu \leq \nu \\ \\ \text{On considère la fonction f définie sur }]0;\beta ] \text{ par: } \\\\f(\alpha )= ln(\nu )-ln(\mu )=ln(\frac{\alpha +\beta +\gamma }{3})-\frac{ln(\alpha )+ln(\beta )+ln(\gamma )}{3}\\\\ \text{f est dérivable sur }]0;\beta ] \text{ et on a pour tout }\alpha \in ]0;\beta ]: \\\\ f^{'}(\alpha )= \frac{1}{\alpha +\beta +\gamma }-\frac{1}{3\alpha }\leq 0\\\\\text{Donc f est décroissante sur }]0;\beta ] \text{ et par la suite:} \\\\ \text{Pour tout }\alpha \in ]0;\beta ], f(\alpha )\geq f(\beta )=ln(\frac{2\beta +\gamma }{3})-\frac{2ln(\beta )+ln(\gamma )}{3}\\ \\ \text{Considérons maintenant la fonction g définie sur }]0;\gamma ] \text{ par: } g(\beta )= ln(\frac{2\beta +\gamma }{3})-\frac{2ln(\beta )+ln(\gamma )}{3}\\\\ \text{g est dérivable sur: }]0;\gamma ] \text{ et on a pour tout }\beta\in]0;\gamma ]:\\\\ g'(\beta)=\frac{2}{2\beta +\gamma }-\frac{2}{3\gamma }\leq 0\\\\\text{Donc g est décroissante sur }]0;\gamma ] \text{ et par la suite: }\\\\ \text{Pour tout } \beta\in]0;\gamma], g(\beta)\geq g(\gamma)=0\\\\ \text{Ainsi: }f(\alpha)\geq 0\text{ et donc: } ln(\nu )-ln(\mu )\geq 0\Rightarrow \nu \geq \mu\\\\ \text{c-à-d: } \frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}\geq\sqrt[3]{\alpha \beta \gamma }(*)\\\\\text{En fait: }0<\frac{1}{\gamma}\leq \frac{1}{\beta }\leq \frac{1}{\alpha}\text{Et donc en leur appliquant le résultat (*), on obtient: }\\\\ \frac{\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma }}{3}\geq \sqrt[3]{\frac{1}{\alpha \beta \gamma}}\Rightarrow \vartheta \leq\mu (**)\\\\ \text{De (*) et (**): }\vartheta \leq\mu \leq\nu \\

Posté par
Yona07
re : Moyennes: arithmétique, géométrique et harmonique 18-11-21 à 22:19

\text{De plus: }\gamma \geq \beta \geq \alpha \text { donc: }\\\\\gamma =\frac{\gamma +\gamma +\gamma }{3}\geq \frac{\gamma +\beta +\alpha }{3}=\nu \\\\\text{et: }\alpha =\frac{3}{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\alpha}}\leq \frac{3}{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}}=\vartheta \\\\ \text{Enfin, on a: } \alpha \leq \vartheta \leq \mu \leq \nu \leq \gamma.

Posté par
Yona07
re : Moyennes: arithmétique, géométrique et harmonique 18-11-21 à 22:38

On va maintenant appliquer ces résultats aux suites: (a_n), (b_n) \text{ et } (c_n):

a_{n+1}, b_{n+1} \text{ et } c_{n+1} \text{ jouent respectivement les rôles de: }\vartheta , \mu \text{ et }\nu \\\\ a_n, b_n \text{ et }c_n\text{ jouent respectivement les rôles de: }\alpha , \beta \text{ et }\gamma\\\\ \text{Monotonie et convergence :}\\ \text{On a: } a_n\leq c_{n+1}\leq b_{n+1}\leq a_{n+1}\leq c_n\Rightarrow a_n\leq a_{n+1} \text{ et } c_{n+1}\leq c_n\\\\\text{Donc: } (a_n) \text{ est croissante et } (c_n) \text{ est décroissante, et de plus (par conséquent): } \\a_0=a\leq a_n\leq c_n\leq c_0=c\\\\ \text{Ainsi: }\begin{cases} (a_n) \text{ est croissante et majorée par c }\Rightarrow (a_n) \text{ convergente} \\ (c_n) \text{ est décroissante et minorée par a }\Rightarrow (c_n) \text{ convergente} \end{cases} \\\\\text{On a: }c_{n+1}=\frac{a_n+b_n+c_n}{3}\Leftrightarrow b_n= 3 c_{n+1}-a_n-c_n\Rightarrow (b_n) \text{ est convergente}

Posté par
Yona07
re : Moyennes: arithmétique, géométrique et harmonique 18-11-21 à 22:40

Oups, je corrige d'abord l'énoncé de l'exercice:

Yona07 @ 18-11-2021 à 20:54



Montrer que (a_n)_{n\in N}, (bn), (c_n)_{n\in N}  sont monotones et que les trois suites convergent vers la même limite.

Posté par
Yona07
re : Moyennes: arithmétique, géométrique et harmonique 18-11-21 à 22:55

\text{Soient } l_1, l_2 \text{ et }l_3 \text{ les limites respectives de } (a_n), (b_n) \text{ et } (c_n).\\\\ \text{On a : }\begin{cases} \frac{l_1+l_2+l_3}{3}=l_3 \\ \\ \frac{3}{\frac{1}{l_1}+\frac{1}{l_2}+\frac{1}{l_3}}=l_1\\ \\ \sqrt[3]{l_1l_2l_3}=l_2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} l_2=2l_3-l_1 \\ l_1^2-5l_1l_3+4l_3^2=0 \end{cases}\Leftrightarrow (l_1= l_2=l_1) \text{ ou } (l_=4l_3 \text{ et } l_3=-\frac{l_2}{3})\\\\\text{Or: }(c_n) \text{ est minorée par a, donc }l_3>0, \text{d'où: } l_1=l_2=l_3. \;\;\;\; \mathfrak{C.Q.F.D}

Posté par
Yona07
re : Moyennes: arithmétique, géométrique et harmonique 18-11-21 à 23:05

Y-a-t-il une erreur?? Sinon, y-a-t-il une méthode plus simple que celle-ci??

Posté par
carita
re : Moyennes: arithmétique, géométrique et harmonique 19-11-21 à 12:42

bonjour Yona07

j'avoue humblement ne pas (avoir le niveau pour) comprendre toute ta démarche,
mais en attendant des avis plus experts :

- j'y trouve des erreurs
- je pense que l'on peut faire plus simple

par ex, une erreur :

\text{Monotonie et convergence :}\\ \text{On a: } a_n\leq c_{n+1}\leq b_{n+1}\leq a_{n+1}\leq c_n\Rightarrow a_n\leq a_{n+1} \text{ et } c_{n+1}\leq c_n\\
pas d'accord, entre autres,  avec c_{n+1} \leq b_{n+1}

pour la variation de a(n)
on peut établir assez facilement le signe  an+1 - an <  0
suite croissante

idem pour  c(n), suite décroissante

Posté par
carita
re : Moyennes: arithmétique, géométrique et harmonique 19-11-21 à 12:43

* oups, lire   signe  an+1 - an >  0 , bien sur

Posté par
Yona07
re : Moyennes: arithmétique, géométrique et harmonique 19-11-21 à 15:15

Salut Carita! Vous avez tout à fait raison; merci de m'avoir avertie! ^^

Yona07 @ 18-11-2021 à 22:38


a_{n+1}, b_{n+1} \text{ et } c_{n+1} \text{ jouent respectivement les rôles de: }\vartheta , \mu \text{ et }\nu \\\\ a_n, b_n \text{ et }c_n\text{ jouent respectivement les rôles de: }\alpha , \beta \text{ et }\gamma


a_{n+1} est la moyenne harmonique et c_{n+1} est la moyenne arithmétique comme cités là-dessus..
Je me suis tracassée par les symboles et j'ai renversé les rôles des deux dans la suite:

Ce n'est pas:
Yona07 @ 18-11-2021 à 22:38


\text{On a: } a_n\leq c_{n+1}\leq b_{n+1}\leq a_{n+1}\leq c_n\Rightarrow a_n\leq a_{n+1} \text{ et } c_{n+1}\leq c_n


Mais c'est plutôt:
Yona07 @ 18-11-2021 à 22:38


\text{On a: } a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq c_{n+1}\leq c_n\Rightarrow a_{n}\leq a_{n+1} \text{ et } c_{n+1}\leq c_n



Merci encore une fois!



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