J'en fais un.

x^6 + 1 = 0

Poser x² = t
t³ + 1 = 0
t³ = -1
t = -1
-> x² = -1
Et donc x² + 1 divise (x^6 + 1)

On fait la division de x^6 + 1 par x² + 1 et on trouve:

x^6 + 1 = (x²+1).(x^4 - x² + 1)

Reste à décomposer (x^4 - x² + 1)
(x^4 - x² + 1) = (x² + Ax + B)(x² + Cx + D)
(x^4 - x² + 1) = x^4 + x³(A+C) + x²(D+AC+B) + x(AD + BC) + BD

En identifiant les 2 membres, on a le système :
A + C = 0
AC + B + D = -1
AD + BC = 0
BD = 1

On montre que A et C sont différents de 0.
En effet si A = 0, on aurait C = 0
le système serait:
B + D = 1
BD = 1
Qui conduit à des valeurs non réelles de B et D.

-> A et C différents de 0.

A + C = 0
et AD + BC = 0
conduit à B = D
et avec BD = 1
-> B = D = 1

et donc
A + C = 0
AC + 1 + 1 = -1

Donne A = V3 et C = -V3  avec V pour racine carrée.
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-> (x^4 - x² + 1) = (x² + V3.x + 1)(x² -V3x + 1)
et finalement:

x^6 + 1 = (x²+1).(x² + V3.x + 1)(x² -V3x + 1)
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Sauf distraction.    

Voici une autre méthode.

x^6 + 1 = 0
x^6 = -1
x^6 = e^(i.(Pi + 2kPi))    avec k dans Z
x = e^(i.(Pi/6) + (kPi/3))

On a alors les solutions complexes avec k = 0,1, ... 5

On trouve
x1 = e^(i.Pi/6) = cos(Pi/6) + i.sin(Pi/6)
x1 = ((V3)/2) + i/2

x2 =  e^(i.(Pi/6 + Pi/3) = cos(Pi/2) + i.sin(Pi/2)
x2 = i

On continue ainsi jusque x6

On a alors:
x^6 - 1 = (x - x1)*(x - x2)* ... *(x-x6)

qui devrait donner tous calculs faits:

x^6 - 1 = (x - ((V3)/2) - i/2).(x - i) .(x + ((V3)/2) + i/2).(x + i).
(x - ((V3)/2) + i/2).(x + ((V3)/2) - i/2)

En regroupant les morceaux de  second membre judicieusement ->
Ona : (x - i)(x + i) = x² + 1
(x - ((V3)/2) - i/2).(x - ((V3)/2) + i/2) = x² - V3 .x + 1
et
(x + ((V3)/2) - i/2).(x + ((V3)/2) + i/2) = x² + V3 .x + 1
-> finalement:
x^6 + 1 = (x²+1).(x² + V3.x + 1)(x² -V3x + 1)
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Cette solution est plus directe mais utilise les complexes.
A toi de voir.
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Sauf distraction.  


    

Merci beaucoup  à J-P pour son excellent travail