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Niveau Maths sup
mpsi : nombres complexes
Posté par smily_didi (invité)
bonjour à tous 
J'ai un problème avec l'exercice suivant :
Déterminer l'ensemble des points du plan complexe dont l'affiche s'écrit e^(ix) +2*e^(iy), avec x,y 
je sais que e^(ix) =cos x + isinx, c'est un cercle unité (rayon 1)
et que 2*e^(iy)= 2(coxy + isony)
mais l'ensemble recherché, est-ce la réunion des deux? Le prof a dit que l'ensemble serait un anneau, mais je ne vois pas comment le trouver. J'aimerais comprendre comment faire. Doit-on poser z=...?
Pouvez-vous m'aider SVP? Merci d'avance et bonne soirée.
Bonjour, smily-didi.
Si , il est facile de montrer que:
Donc, l'ensemble recherché est inclus dans l'anneau:
Il ne reste plus qu'à démontrer que tout élément de l'anneau est inclus dans l'ensemble recherché. Ce n'est pas la partie la plus facile, mais je vais te laisser chercher ...
Posté par smily_didi (invité)re : mpsi : nombres complexes
bonjour perroquet et lolo217
Merci pour vos réponses !
perroquet :Je vais essayer de chercher à partir de la piste que tu m'as donné.
lolo217 : quelle est la différence entre "couronne" et "anneau" en mathématiques?
merci encore à vous deux
Posté par smily_didi (invité)re : mpsi : nombres complexes
rebonjor
j'ai réussi à prouver que module de z égal ou inférieur à 3 (inégalité triangulaire), mais comment prouver que module de z égal ou supérieur à 1?
j'obientiendrais donc que l'ensemble des points seraient entre un cercle de rayon 1 et un autre de rayon 3, ce serait donc un anneau (ou couronne?). est-ce bon si je l'explique comme ça avec un schéma?
Pouvez-vous me conrriger SVP? merci d'avance
L'ensemble cherché est bien inclus dans l'ensemble situé entre les deux cercles de rayons 1 et 3.
Il reste à faire l'inclusion dans l'autre sens ...
Bonjour ;
Réciproquement si l'équation (en
)
admet au moins une solution (c'est une équation du second degré),
je trouve
(sauf erreur)
Posté par smily_didi (invité)re : mpsi : nombres complexes
merci à tous pour vos réponses, je vais essayer de refaire l'exercice pour voir si je comprend bien.
Bonne soirée à tous et encore merci
Bonsoir, elhor.
La solution que tu donnes pose un problème technique. Il faut vérifier que la solution que tu trouves est effectivement de module 1, ce qui n'est pas trop difficile. Mais l'ensemble des calculs est assez long (résolution de l'équation et vérification du fait que la solution est de module 1).
Je pense qu'il est préférable de raisonner géométriquement. Résoudre l'équation revient à chercher l'intersection du cercle de centre M d'affixe z et de rayon 2 avec le cercle de centre 1 et de centre 0. Comme la distance de M au cercle de centre 1 et de rayon 0 est inférieure à 2 ...
@ +