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Multiples de 7

Posté par
flight
20-03-23 à 23:33

Bonsoir

Je vous propose l'exercice suivant ; ( tres facile ) On se donne les entiers  allant de 1 à n .
Combien y a t  il de facons de faire un produit de deux entiers (choisis dans la liste précèdente) qui soit multiple de 7 ?

Posté par
dpi
re : Multiples de 7 21-03-23 à 09:22

Bonjour,

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Posté par
dpi
re : Multiples de 7 21-03-23 à 10:32

Suite,

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Posté par
Leile
re : Multiples de 7 21-03-23 à 11:37

bonjour,
je tente

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Posté par
dpi
re : Multiples de 7 21-03-23 à 12:06

Bonjour Leile,
Je me suis permis...

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Posté par
dpi
re : Multiples de 7 21-03-23 à 12:17

suite,

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Posté par
Imod
re : Multiples de 7 21-03-23 à 12:27

Bonjour

Le plus simple est sans doute de commencer par compter le nombre d'entiers de l'intervalle qui ne sont pas des multiples de 7 . Après il faudrait préciser si  7X2 et 2X7 sont les mêmes façons de faire un produit .

Imod

Posté par
dpi
re : Multiples de 7 21-03-23 à 13:37

>Leile,
On peut nettement simplifier ta formule faisant intervenir les
factorielles

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Posté par
dpi
re : Multiples de 7 21-03-23 à 13:39

>Imod

Citation :
faire un produit de deux entiers


on en tire 2 donc peu importe...

Posté par
Ulmiere
re : Multiples de 7 21-03-23 à 16:37

 Cliquez pour afficher


Ce nombre est équivalent quand n tend vers l'infini à 2n²/7, ou à n²/7 en fonction de si l'ordre compte.
Donc la probabilité de créer un multiple de 7 est équivalente à (2n²/7)/n² = 2/7 ou à n²/7/(n(n-1)/2) ~ 2/7 dans les deux cas.


Même si le tirage est fait avec répétition, le résultat sera presque le même.
 Cliquez pour afficher

Posté par
flight
re : Multiples de 7 21-03-23 à 18:19

Bonjour à tous

en visualisant la chose sur un tableau à double entrée on a tres vite
comme possibilités :    N = 2nE(n/7)  - (E(n/7))²

exemple si n = 10 on trouve   N = 19 possibilités
                    si n = 100  on trouve  N = 2604 possibilités

Posté par
flight
re : Multiples de 7 21-03-23 à 18:23

Bonjour Leile je pense que tu a voulu ecrire  E(n/7)+1  dans  ton resultat si je prend  n = 10   , ton  "a" donne  2   et  les possibilités donnent  2!/2(2-2)!  = 1    ce qui ne va pas ....

Posté par
Leile
re : Multiples de 7 21-03-23 à 18:35

bonjour  flight,
oui, je voulais écrire E(n/7)  + 1  
mais j'ai lu trop vite la question, et je me suis complétement trompée pour répondre : je n'ai considéré que les entiers multiples de 7 parmi les n, et non les produits ....
Faudra que je change mes lunettes.

Posté par
dpi
re : Multiples de 7 21-03-23 à 19:03

Je vois que flight confirme mon 26 %  de 9 h22

Par exemple si n=250 il y aura  exactement 8120  produits multiples de  7   sur 31125 * au total  soit 26.09%
>Leile
* Oui c'est ce que j'ai appelé le dénominateur .
>flight
* j'ai fait remarquer que la formule avec factorielle de Leile pouvait être nettement plus simple :   a(a-1)/2

Posté par
flight
re : Multiples de 7 21-03-23 à 20:01

Bonsoir Dpi  

Citation :
Par exemple si n=250 il y aura  exactement 8120  produits multiples de  7


Pas du tout  !  il y aura  exactement 16275 cas possibles

Posté par
dpi
re : Multiples de 7 22-03-23 à 07:57

Bonjour,
Pour 250,il y a 250x249/2 =31125 produits possibles de 2 nombres *
.
Il est donc impossible qu'il y ait plus de 1/2 qui soient multiples de 7.
D'ailleurs la formule de  Ulmiere qui me semble la bonne donne

250(1/7+1/7-1/49) 8200
La différence entre le résultat d'une formule et la recherche systématique provient de la répartition non linéaire des multiples de 7  dans notre cas .

En appliquant la formule de Ulmiere pour le nombre de multiples de 5 possibles on obtient : n(1/5+1/5-1/25)= 0.36 qui confirme les résultats de mon tableau du 21 à10 h32.

* si on n= 5 soit 1 2 3 4 5 et qu'on en tire 2 il n'y a que 10 cas et non 25...

Posté par
flight
re : Multiples de 7 22-03-23 à 10:36

Citation :
Pour 250,il y a 250x249/2 =31125 produits possibles de 2 nombres *
.
  tu veux dire produits qui sont multiples de 7  ?

non !   pas plus que  16275

Posté par
Imod
re : Multiples de 7 22-03-23 à 10:57

Il me semble qu'on arrive à du grand n'importe quoi sur ce fil . Les réponses ont été donnés depuis longtemps et en effet pour 250 une réponse est 16 275 ( si on compte deux fois les paires )  .

Après il faut lire les questions et ne pas répondre à côté

Imod

Posté par
dpi
re : Multiples de 7 22-03-23 à 11:24

Tout vient du fait que si n=100,il y a bien 100x100 =10000
cas dont certains sont impossibles  par exemple tirer en même temps deux fois le  chiffre  16  donc 256 est impossible *et comme le faisait remarquer   Imod  7x2 et 2x7 c'est la même chose :donc définitivement  pour moi pour n=250 ,si il y a bien 16275 cas, en éliminant ce que je viens d'écrire on en retient  8120.

*L'interprétation des énoncés est cruciale..
Ici si  on a 36 cartes dans un jeu et si on me demande d'en tirer 2
j'aurais bien de la peine à tirer deux femmes de coeur

Posté par
Imod
re : Multiples de 7 22-03-23 à 11:54

Quand je disais qu'il faut bien lire les questions et ne pas répondre à côté , j'aurais pu ajouter qu'il faut aussi bien poser les questions .

En résumé , faire ce que je dis mais pas ce que je fais

Imod

Posté par
derny
re : Multiples de 7 22-03-23 à 23:45

Bonsoir
Tout le monde trouve 16275 ... sauf moi (16240).
Sauf erreur ma formule est

Multiples de 7

Posté par
derny
re : Multiples de 7 23-03-23 à 07:30

Et pour n infini on obtient 13/49 soit 26,53 environ

Posté par
dpi
re : Multiples de 7 23-03-23 à 08:31

Le pourcentage de 26 % est trouvé depuis le 21  à 9h22
je donne le résumé de ma version .
Deux remarques:
1 )le  pourcentage est donné sur une valeur de n mais compte-tenu
de la répartition des multiples de 7 non homogène en fonction de n
(par exemple entre  n= 140 et n=139) il restera indicatif  .ici 26 %

2/entre la version de la majorité et ma version (sans les grisés)
on observe un faible écart de pourcentage .
Multiples de 7

Posté par
derny
re : Multiples de 7 23-03-23 à 13:57

Bonjour
Excel permet de mettre la formule sous forme de tableau.
Résultats ci-dessous pour n jusqu'à 100 mais il n'y a qu'à "tirer" vers le bas pour avoir la suite.

Multiples de 7

Posté par
derny
re : Multiples de 7 23-03-23 à 14:05

De 10 en 10 à partir de 100

Multiples de 7

Posté par
derny
re : Multiples de 7 23-03-23 à 14:31

Je n'ai pas considéré les mêmes couples que toi. Par exemple, pour n=10 on a :
1  2       4  1         7  1          10  1
1  3       4  2         7  2          10  2
1  4       4  3         7  3          10  3
1  5       4  5         7  4          10  4
1  6       4  6         7  5          10  5
1  7       4  7         7  6          10  6
1  8       4  8         7  8          10  7
1  9       4  9         7  9          10  8
1  10    4  10     7  10       10  9
2  1       5  1         8  1
2  3       5  2         8  2
2  4       5  3         8  3
2  5       5  4         8  4
2  6       5  6         8  5
2  7       5  7         8  6
2  8       5  8         8  7
2  9       5  9         8  9
2  10    5  10     8  10
3  1       6  1         9  1
3  2       6  2         9  2
3  4       6  3         9  3
3  5       6  4         9  4
3  6       6  5         9  5
3  7       6  7         9  6
3  8       6  8         9  7
3  9       6  9         9  8
3  10    6  10      9  10
Soit 18 couples bons sur 90 soit 1/5 = 0.2

Posté par
dpi
re : Multiples de 7 23-03-23 à 14:45

Ton tableau valide les 26% environ
A  noter que pour des n significatifs  on trouve  des écart plus ou moins grands:
Pour mon exemple 139 ;140 et dans la version "majoritaire"
139-->19321 produits dont 4921 multiples de 7 soit 25.47%
140-->19600 produits dont 5200 multiples de  7 soit 26.53%
Pour mémoire ma version sans doublons:
139--->9591 produits dont 2451 multiples de 7 soit  25.55 %
140--->2590 produits dont 2590 multiples de 7 soit  26.62 %

Posté par
dpi
re : Multiples de 7 23-03-23 à 15:00

Toute la polémique "involontaire" de cet exercice est résumée dans
ton petit tableau de  14h31
En effet tu devrais prendre 10x10 et donc rajouter 70 multiple de 7 soit 19
Mon idée était d'éviter les doublons car si on tire au hasard (8;5 ) en même temps  c'est exactement comme (5;8 ).
Si flight avait répondu  à Imod du 21 à 12h27  on aurait  su.


Posté par
derny
re : Multiples de 7 23-03-23 à 15:07

Mes tableaux valident la formule "méthode 14h31", c'est-à-dire qu'on compte tous les tirages possibles soit par exemple 1 puis 2 tirage différent de 2 puis 1.
Pour n infini on tend vers 13/49 en comptant de cette façon.

Posté par
derny
re : Multiples de 7 23-03-23 à 15:35

dpi, en comptant à ta façon, c'est-à-dire en considérant que le tirage 1 puis 2 est le même que le tirage 2 puis 1 on obtient bien 45 tirages différents pour n=10. Mais il n'y en a que 9 (et non 10) de bons qui sont :
1  7
2  7
3  7
4  7
5  7
6  7
7  8
7  9
7  10

Posté par
dpi
re : Multiples de 7 23-03-23 à 20:10

>derny,
Je n'ai jamais dit qu'ils étaient 10,d'ailleurs il n'y a qu'à voir le L vert
(Nord Est )non grisé de mon tableau  de 8h31

Posté par
dpi
re : Multiples de 7 23-03-23 à 20:26

Je viens de voir que dans mon texte 10 apparait mais on compte bien
9 car 49 est grisé.
Je finis en donnant mon récap:

Multiples de 7



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