Bonsoir
Je vous propose l'exercice suivant ; ( tres facile ) On se donne les entiers allant de 1 à n .
Combien y a t il de facons de faire un produit de deux entiers (choisis dans la liste précèdente) qui soit multiple de 7 ?
Bonjour
Le plus simple est sans doute de commencer par compter le nombre d'entiers de l'intervalle qui ne sont pas des multiples de 7 . Après il faudrait préciser si 7X2 et 2X7 sont les mêmes façons de faire un produit .
Imod
>Leile,
On peut nettement simplifier ta formule faisant intervenir les
factorielles
Bonjour à tous
en visualisant la chose sur un tableau à double entrée on a tres vite
comme possibilités : N = 2nE(n/7) - (E(n/7))²
exemple si n = 10 on trouve N = 19 possibilités
si n = 100 on trouve N = 2604 possibilités
Bonjour Leile je pense que tu a voulu ecrire E(n/7)+1 dans ton resultat si je prend n = 10 , ton "a" donne 2 et les possibilités donnent 2!/2(2-2)! = 1 ce qui ne va pas ....
bonjour flight,
oui, je voulais écrire E(n/7) + 1
mais j'ai lu trop vite la question, et je me suis complétement trompée pour répondre : je n'ai considéré que les entiers multiples de 7 parmi les n, et non les produits ....
Faudra que je change mes lunettes.
Je vois que flight confirme mon 26 % de 9 h22
Par exemple si n=250 il y aura exactement 8120 produits multiples de 7 sur 31125 * au total soit 26.09%
>Leile
* Oui c'est ce que j'ai appelé le dénominateur .
>flight
* j'ai fait remarquer que la formule avec factorielle de Leile pouvait être nettement plus simple : a(a-1)/2
Bonsoir Dpi
Bonjour,
Pour 250,il y a 250x249/2 =31125 produits possibles de 2 nombres *
.
Il est donc impossible qu'il y ait plus de 1/2 qui soient multiples de 7.
D'ailleurs la formule de Ulmiere qui me semble la bonne donne
250(1/7+1/7-1/49) 8200
La différence entre le résultat d'une formule et la recherche systématique provient de la répartition non linéaire des multiples de 7 dans notre cas .
En appliquant la formule de Ulmiere pour le nombre de multiples de 5 possibles on obtient : n(1/5+1/5-1/25)= 0.36 qui confirme les résultats de mon tableau du 21 à10 h32.
* si on n= 5 soit 1 2 3 4 5 et qu'on en tire 2 il n'y a que 10 cas et non 25...
Il me semble qu'on arrive à du grand n'importe quoi sur ce fil . Les réponses ont été donnés depuis longtemps et en effet pour 250 une réponse est 16 275 ( si on compte deux fois les paires ) .
Après il faut lire les questions et ne pas répondre à côté
Imod
Tout vient du fait que si n=100,il y a bien 100x100 =10000
cas dont certains sont impossibles par exemple tirer en même temps deux fois le chiffre 16 donc 256 est impossible *et comme le faisait remarquer Imod 7x2 et 2x7 c'est la même chose :donc définitivement pour moi pour n=250 ,si il y a bien 16275 cas, en éliminant ce que je viens d'écrire on en retient 8120.
*L'interprétation des énoncés est cruciale..
Ici si on a 36 cartes dans un jeu et si on me demande d'en tirer 2
j'aurais bien de la peine à tirer deux femmes de coeur
Quand je disais qu'il faut bien lire les questions et ne pas répondre à côté , j'aurais pu ajouter qu'il faut aussi bien poser les questions .
En résumé , faire ce que je dis mais pas ce que je fais
Imod
Le pourcentage de 26 % est trouvé depuis le 21 à 9h22
je donne le résumé de ma version .
Deux remarques:
1 )le pourcentage est donné sur une valeur de n mais compte-tenu
de la répartition des multiples de 7 non homogène en fonction de n
(par exemple entre n= 140 et n=139) il restera indicatif .ici 26 %
2/entre la version de la majorité et ma version (sans les grisés)
on observe un faible écart de pourcentage .
Bonjour
Excel permet de mettre la formule sous forme de tableau.
Résultats ci-dessous pour n jusqu'à 100 mais il n'y a qu'à "tirer" vers le bas pour avoir la suite.
Je n'ai pas considéré les mêmes couples que toi. Par exemple, pour n=10 on a :
1 2 4 1 7 1 10 1
1 3 4 2 7 2 10 2
1 4 4 3 7 3 10 3
1 5 4 5 7 4 10 4
1 6 4 6 7 5 10 5
1 7 4 7 7 6 10 6
1 8 4 8 7 8 10 7
1 9 4 9 7 9 10 8
1 10 4 10 7 10 10 9
2 1 5 1 8 1
2 3 5 2 8 2
2 4 5 3 8 3
2 5 5 4 8 4
2 6 5 6 8 5
2 7 5 7 8 6
2 8 5 8 8 7
2 9 5 9 8 9
2 10 5 10 8 10
3 1 6 1 9 1
3 2 6 2 9 2
3 4 6 3 9 3
3 5 6 4 9 4
3 6 6 5 9 5
3 7 6 7 9 6
3 8 6 8 9 7
3 9 6 9 9 8
3 10 6 10 9 10
Soit 18 couples bons sur 90 soit 1/5 = 0.2
Ton tableau valide les 26% environ
A noter que pour des n significatifs on trouve des écart plus ou moins grands:
Pour mon exemple 139 ;140 et dans la version "majoritaire"
139-->19321 produits dont 4921 multiples de 7 soit 25.47%
140-->19600 produits dont 5200 multiples de 7 soit 26.53%
Pour mémoire ma version sans doublons:
139--->9591 produits dont 2451 multiples de 7 soit 25.55 %
140--->2590 produits dont 2590 multiples de 7 soit 26.62 %
Toute la polémique "involontaire" de cet exercice est résumée dans
ton petit tableau de 14h31
En effet tu devrais prendre 10x10 et donc rajouter 70 multiple de 7 soit 19
Mon idée était d'éviter les doublons car si on tire au hasard (8;5 ) en même temps c'est exactement comme (5;8 ).
Si flight avait répondu à Imod du 21 à 12h27 on aurait su.
Mes tableaux valident la formule "méthode 14h31", c'est-à-dire qu'on compte tous les tirages possibles soit par exemple 1 puis 2 tirage différent de 2 puis 1.
Pour n infini on tend vers 13/49 en comptant de cette façon.
dpi, en comptant à ta façon, c'est-à-dire en considérant que le tirage 1 puis 2 est le même que le tirage 2 puis 1 on obtient bien 45 tirages différents pour n=10. Mais il n'y en a que 9 (et non 10) de bons qui sont :
1 7
2 7
3 7
4 7
5 7
6 7
7 8
7 9
7 10
>derny,
Je n'ai jamais dit qu'ils étaient 10,d'ailleurs il n'y a qu'à voir le L vert
(Nord Est )non grisé de mon tableau de 8h31
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