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Niveau Licence Maths 1e ann
Multiplicativité Indicatrice d'Euler niveau L1
Posté par jbfibo
Bonjour à vous tous,
pour la multiplicativité de l'indicatrice d'Euler, je suis dans l'impasse concernant la conclusion d'un problème niveau L1 avec pour seuls outils Bezout, Gauss. Voici l'énoncé:
Soient a,b et n des entiers naturels non nuls.
1°) Montrer que si pgcd(n,ab)=1 alors pgcd(n,a)=1
De même, on pourrait montrer que si pgcd(n,ab)=1 alors pgcd(n,b)=1
2°) On suppose que pgcd(a,b)=1. On fait l'hypothèse que pgcd(n,a)=1 et pgcd(n,b)=1. Montrer qu'alors pgcd(n,ab)=1.
3°) En déduire que si pgcd(a,b)=1 alors p(ab)=p(a)p(b) où p est la fonction phi indicatrice d'Euler: p(n) nombre d'entiers compris entre 1 et n premiers avec n.
La 1°) OK
La 2°) OK "mais je ne me sers pas de pgcd(a,b)=1. Est-ce superflu?"
La 3°) ??? "le en déduire me parait un peu brutal..."
Merci de vos réponses pour cette première sur ce forum.^^
Pour le 2, l'hypothèse pgcd(a,b)=1 est nécessaire. Qu'as-tu écris ?
Au 1 et 2, tu montres que si pgcd(a,b)=1, alors
pgcd(n,ab)=1 si et seulement si [ pgcd(n,a)=1 et pgcd(n,b)=1 ]
donc en appliquant la définition de p, tu devrais pouvoir trouver 3.
Bonjour David9333,
Voici mon raisonnement pour le 2°):
"On pose d=pgcd(n;ab)
En utilisant pgcd(n;b)=1, par le théorème de Bézout, il existe un couple d'entiers relatifs (u;v) tel que nu+bv=1.
En multipliant par a cette égalité, on trouve: anu+abv=a.
Or, d divise n et d divise ab, donc d divise toute combinaison linéaire de n et de ab. En particulier d divise anu+abv. Donc d divise a.
Mais d divise aussi n. Donc d est un diviseur commun de a et de n, donc aussi un diviseur de leur pgcd(a,n)=1.
Donc d divise 1. En conséquence, d=1. (je n'utilise pas pgcd(a,b)=1...)
Pour la 3°), j'ai bien vu que l'on avait cette équivalence par la question1°) et 2°) mais je ne vois pas comment conclure...
et là??
merci de ton aide.
salut
pgcd (n, a) = 1 <=> nu + av = 1
pgcd (n, b) = 1 <=> nx + by = 1
en multipliant membre à membre : n(nux + uby + avx) + ab(vy) = 1 <=> pgcd (n, ab) = 1
il n'y a pas besoin que pgcd (a, b) = 1
et ta démonstration est correcte ...
Oui pardon, je me suis laissé induire en erreur (car on n'a pas forcément p(ab)=p(a)p(b) si a et b ne sont pas premier entre eux)...
Par contre, pour la suite, je bloque un peu également. En fait, j'ai mon idée de démonstration, mais elle utilise le théorème chinois. Et je n'arrive pas à voir quelque chose de plus "élémentaire". Est-ce que tu l'as vu en cours ? La démonstration n'est pas difficile mais je ne sais pas si c'est l'esprit de l'exercice...
En effet, carpediem, je n'avais pas pensé à cette autre possibilité de preuve. Aurais-tu une idée, pour la question 3°), pour déduire le résultat de l'équivalence ainsi démontré que:
pgcd(n,ab)=1 si et seulement si [ pgcd(n,a)=1 et pgcd(n,b)=1 ]
et en supposant en plus maintenant pour la question 3°) que pgcd(a,b)=1.
Oui, en effet, je connais la preuve utilisant le théorème chinois mais comme tu le dis très bien (david9333) cela n'est pas l'esprit de l'exercice (un exercice que j'ai retrouvé dans mes cours de L1 et je n'avais pas vu à cette époque le dit théorème chinois....)
Il y a donc sans doute une déduction plus "élémentaire" mais je suis dans l'impasse.
La nuit porte conseil.^^