Bonjour, petite question liée à la multiplicité géométrique et algébrique dans le thème de diagonalisation d'endomorphismes.
Soit un endomorphisme et soit une valeur propre de f. La multiplicité géométrique mg de est au plus la multiplicité algébrique ma de .
Ma question est la suivante : si ma() = 1, alors ?
Je pense que l'on peut reformuler cette question de la manière suivante : est-ce que la multiplicité géométrique d'une valeur propre est toujours supérieure égale à 1 ?
(Si oui, cela impliquerait aussi s'il y a dim(V) valeurs propres alors mg = ma pour toute valeur propre d'où la somme des multiplicités géométriques est égale à n donc l'endomorphisme est diagonalisable)
bonjour
ha ben oui ! réfléchis... si l'ordre de multiplicité dans le polynôme caractéristique de L est 1, ça veut dire que le noyau de (f - L Id) n'est pas réduit à 0... donc est au moins de dimension 1 ... et comme il est au plus de dimension 1 ... donc ...
je crois qu'il faut approfondir le cours...
si le polynôme caractéristique n'a que des racines simples, alors quel est le polynôme minimal ?
Quelques rappels de cours:
La multiplicité géométrique de est
La multiplicité algébrique est , où m est la multiplicité de dans le polynôme minimal de f.
Il se trouve que est aussi la multiplicité de dans le polynôme caractéristique de f.
En tout cas, m est toujours quand est une valeur propre (c'est-à-dire une racine du polynôme minimal) et donc , d'où , puis en passant à la dimension.
La multiplicité géométrique d'une valeur propre est effectivement toujours au moins égale à 1. En effet, si \lambda est une valeur propre de f, alors (par définition) il existe x non nul un vecteur propre tel que . Donc n'est pas injective, donc son noyau n'est pas réduit à zéro, donc au moins de dimension 1.
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