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Niveau maths spé
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Multiplicité géométrique et algébrique

Posté par
Serbiwni
23-03-21 à 17:12

Bonjour, petite question liée à la multiplicité géométrique et algébrique dans le thème de diagonalisation d'endomorphismes.  
Soit f : V \to V un endomorphisme et soit \lambda \in K une valeur propre de f. La multiplicité géométrique mg de \lambdaest au plus la multiplicité algébrique ma de \lambda.
Ma question est la suivante : si ma(\lambda) = 1, alors mg = 1 ?
Je pense que l'on peut reformuler cette question de la manière suivante : est-ce que la multiplicité géométrique d'une valeur propre est toujours supérieure égale à 1 ?
(Si oui, cela impliquerait aussi s'il y a dim(V) valeurs propres alors mg = ma pour toute valeur propre d'où la somme des multiplicités géométriques est égale à n donc l'endomorphisme est diagonalisable)

Posté par
matheuxmatou
re : Multiplicité géométrique et algébrique 23-03-21 à 17:21

bonjour

ha ben oui ! réfléchis... si l'ordre de multiplicité dans le polynôme caractéristique de L est 1, ça veut dire que le noyau de (f - L Id) n'est pas réduit à 0... donc est au moins de dimension 1 ... et comme il est au plus de dimension 1 ... donc ...

Posté par
matheuxmatou
re : Multiplicité géométrique et algébrique 23-03-21 à 17:23

je crois qu'il faut approfondir le cours...

si le polynôme caractéristique n'a que des racines simples, alors quel est le polynôme minimal ?

Posté par
Ulmiere
re : Multiplicité géométrique et algébrique 23-03-21 à 19:53

Quelques rappels de cours:
La multiplicité géométrique de \lambda est m_G(\lambda) = \dim(\ker(f-\lambda id)))
La multiplicité algébrique est m(\lambda) = \dim (\ker((f-\lambda id)^m)), où m est la multiplicité de \lambda dans le polynôme minimal de f.
Il se trouve que m(\lambda) est aussi la multiplicité de \lambda dans le polynôme caractéristique de f.

En tout cas, m est toujours \geqslant 1 quand \lambda est une valeur propre (c'est-à-dire une racine du polynôme minimal) et donc  (f-\lambda id)(x) = 0 \implies (f-\lambda id)^{m-1}((f-\lambda id)(x)) = (f-\lambda id)^{m-1}(0) = 0, d'où \ker f-\lambda id \subseteq \ker (f-\lambda id)^m, puis m_G(\lambda) \leqslant m(\lambda) en passant à la dimension.


La multiplicité géométrique d'une valeur propre est effectivement toujours au moins égale à 1. En effet, si \lambda est une valeur propre de f, alors (par définition) il existe x non nul un vecteur propre tel que (f-\lambda id)(x) = 0. Donc f-\lambda id n'est pas injective, donc son noyau n'est pas réduit à zéro, donc au moins de dimension 1.

Posté par
Ulmiere
re : Multiplicité géométrique et algébrique 23-03-21 à 19:58

Coquille :
\forall x, (f-\lambda id)(x) = 0 \implies (f-\lambda id)^m(x) = (f-\lambda id)^{m-1}((f-\lambda id)(x)) = (f-\lambda id)^{m-1}(0) = 0



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