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Nature d'un quadrilatère
Bonsoir;
Je cherche la nature d'un quadrilatère ABCD. Il se trouve dans un autre quadrilatère là-dedans composé des points IJKL. I est le milieu de [AB], J est le milieu de [BC] etc. Il n'agit pas forcément d'un parallélogramme, ou si?
Je dois aussi comparer les aires des quadrilatères, mais je ne trouve que des aspects super-simples.
Merci beaucoup pour votre aid.
Bonsoir PasThales,
aurais-tu oublié de lire ceci 
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci
en particulier le point 3
Bonsoir Tilk_11,
je m'excuse, si j'ai fait une erreur. Je ne comprends pas. Je n'ai pas utilisé de photo ou du scan. Lequel était mon erreur ?
tu n'as pas lu tout le paragraphe ....
Vous devez RECOPIER L' ÉNONCÉ sur le forum (ne pas raconter l'énoncé, on recopie à partir du 1er mot jusqu'à au moins la question qui pose problème...), , et si vous faites un COPIER-COLLER faire "aperçu" avant d'envoyer pour vérifier que tous les caractères sont bien pris en compte.
On considère un quadrilatère ABCD et les points I, J, K et L les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA].
Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ? Le prouver.
Comparer les aires des quadrilatères ABCD et IJKL.
oui, beaucoup plus qu'une. Je regarderai demain. Je dois aller me coucher maintenant. Bonne nuit, malou, bonne nuit, Tilk.
Bonjour à tous
PasThales
On considère un quadrilatère ABCD
On serait un peu plus avancé si on connaissait la nature de ce quadrilatère ABCD, carré, rectangle, quelconque, ou que sais-je.
Bonjour Malou,
voici mes croquis. 
J'ai appris qu'il s'agit d'un parallélogramme, mais je ne sais pas encore pourquoi. Je travaille...
Je cois que on doit montre que [IJ]
[KL] et [JL][IK]. Probablement il me faut le théorème de Thalès (Pitié !! Je m'appelle 'PasLui'!!!). Est-ce que je peux dire que ? Et par conséquent (JL)
(AC) ? La même chose est vrai pour (AC)(KI) et par consequent (JL)(IK).
Je peux le fair avec (BD), oui ? , et (JI)
(BD)
et
, et (LK)
(BD) et (JI)(LK) ???
C'est juste. On ferait un peu plus court en invoquant le " théorème des milieux "(cas particulier du théorème de Thalès).
pour les aires, trace les diagonales de ton quadrilatère ABCD
et regarde le rapport dans chaque triangle avec Thalès comme précédemment ...
tu vas découper ton quadrilatère IJLK en plusieurs morceaux...
voilà une piste
Tu as vu pour les aires ?Bonjour Malou,
Malheureusement votre piste se cache bien 
J'ai suis votre instruction et je suis arrivé à cette esquisse :
Mon quadrilatère résiste ! Avec des autres, j'ai compris que ça fait la moitié et quand je fais la rotation des triangles, je peux le voir, mais avec un quadrilatère concave ... je n'arrive pas ... adieu Thalès ... vous allez me manquer 
bonjour,
on peut comme le dit malou faire un bilan de toutes les aires par petits morceaux
aire(ABCD) = aire(ABC)+aire(ACD) = aire(ABD) - aire(BCD)
et donc 2*aire(ABCD) = aire(ABC)+aire(ACD) + aire(ABD) - aire(BCD)
ensuite aire(IJKL) = aire(ABD) - aire(BJL) - aire(AIJ) - aire(DIK) -aire(BCD) + aire(CKL), le morceau CKL ayant été retiré à tort en retirant BCD
c'est exactement le même principe pour les aires avec un quadrilatère convexe sauf que certains "moins" sont des "plus"
l'astuce est de considérer le double de l'aire de ABCD comme somme des deux triangles sur une diagonale et des deux triangles sur l'autre diagonale.
la suite est du remplacement pur et simple...
Merci, mathafou. Est-ce qu'on peut dire qu'il n'existe pas une règle générale pour tous les quadrilatères pour la relation de l'aire d'ABCD et aire d'IJKL, car cette relation dépend de la nature de quadrilatère ? J'ai trouvé le théorème de Varignon, mais pas d'explications sur les aires...
et je vous remercie pour votre aid 
si tu termines les calculs tu verras bien si le résultat final dépend de la forme du quadrilatère ...
la méthode de la preuve oui,
le résultat non.
sauf quadrilatères croisés pour lesquels l'aire du quadrilatère , ... hum
et même dans ce cas si on définit une aire algébrique (signée) ce sera vrai.
et même pour ce quadrilatère là c'est vrai :
l'aire algébrique du quadrilatère ABCD est nulle (les deux morceaux sont de signes opposés, on tourne dans un sens pour l'un, dans l'autre pour l'autre)
et donc l'aire de EFGH aussi. (en effet il est aplati !)
2 fois 0 = 0, c'est bon.
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