Niveau Maths sup

Nature d'une série (développement limité?)

Posté par
MikaelMikael 02-12-09 à 13:17

Bonjour, cela fait bien longtemps que je n'ai plus eu l'occasion de refaire des mathématiques et je suis plus que rouillé. J'espère que je serais assez clair dans mes propositions, aussi toute remarque sur des approximations ou un manque de rigueur sera la bienvenue.

Soit $\alpha$ un nombre réel, étudions la nature de la série suivante :
$\Bigsum_{n\ge 1}^{\infty} ln(1+\frac{1}{x^\alpha}) - tan( \frac{1}{x})$ .

Après avoir rapidement éliminé diverses voies de résolution comme les possibilité de déterminer la nature ce cette série par les règles de négligeabilités, de comparaisons et d'équivalence.

Il me semble qu'il me faille chercher du côté des développement limité mais cela me semble bien brouillon :

La fonction x $ln(1+\frac{1}{x^\alpha})$ (resp : les fonctions $x$ $cos(\frac{1}{x})$ et $x$ $sin(\frac{1}{x})$ ) est de classe C^2 sur (resp : sont de classe C^2/alpha sur ).

On dispose ainsi des DL suivant à l'ordre 2 et 2\alpha tous deux au voisinage de $+\infty$ pour les fonctions précitées.

$ln(1+\frac{1}{x^\alpha}) = \frac{1}{x^\alpha} - \frac{1}{2(x^2\alpha)}+ o(x^{-2\alpha})$

$cos(\frac{1}{x}) = \Bigsum_{k=0}^{\alpha} \frac{(-1)^k}{(2k)!} \frac{1}{x^{2k}} + o(x^{-2\alpha})$

$sin(\frac{1}{x}) = \Bigsum_{k=0}^{\alpha -1} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \frac{1}{x^{2k+1}} + o(x^{-2\alpha})$

Par quotient on pourrait obtenir un DL de $tan(\frac{1}{x})$ mais je doute de l'ordre que l'on puisse obtenir.

Ensuite il s'agirait de majorer ou minorer les développements limités obtenus puis montrer la convergence en appliquant la règle de comparaison des séries à termes positifs (pour la partie logarithmique) et montrer l'absolue convergence en utilisant la même règle (partie trigonométrique) selon les valeurs de \alpha considérées.

N'y a-t-il rien de plus évident ici? Le développement limité de $tan(\frac{1}{x})$ semble bien lourd.

Merci beaucoup!
Mikael

Posté par re : Nature d'une série (développement limité?) 02-12-09 à 13:43

Bonjour,

Dans la somme ce n'est pas x, mais n !

Et on connait un DL de la tangente en 0 : $3$ \tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+o$\frac{1}{x^3}$$ .

Ainsi on fait un DL du terme général :

$3$ \ln$1+\frac{1}{n^{\alpha}}$-\tan$\frac{1}{n}$=\frac{1}{n^{\alpha}}-\frac{1}{2n^{2\alpha}}+o$\frac{1}{n^{2\alpha}}$-\frac{1}{n}-\frac{1}{3n^3}+o$\frac{1}{n^3}$$

Alors tu constates que pour $3$ \red \alpha>1$ , tous les termes sont des tg de séries convergentes à l'exception de $3$ \frac{1}{n}$ donc par somme ta série diverge.

Le cas $3$ \alpha=1$ se traite aussi facilement, cette fois la série converge.

Je te laisse continuer

Posté par re : Nature d'une série (développement limité?) 02-12-09 à 13:46

Je rajouterais par ailleurs afin de ne pas vous laisser tout le travail :

$\frac{1}{x^\alpha} - \frac{1}{2x^{2\alpha}} + o(x{^{-2\alpha}) \le \frac{1}{x^\alpha}$

Si $\alpha \ge 2$ on a :
la série de t.g $\frac{1}{x^\alpha}$ converge en tant que série de Riemann de paramètre $\alpha \ge 2$
Ainsi on peut conclure quant à la convergence de la série de t.g $ln(1+ \frac{1}{x^\alpha}$ pour $\alpha \ge 2$ .

Au lieu de chercher un DL à l'ordre 2\alpha puis-je faire ainsi :

Soit un développement limité de $tan(\frac{1}{x})$ à l'ordre 2 :
$tan(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x} + o(\frac{1}{x^2})$
Avec une démarche analogue
Malheureusement de prime abord cette serie m'apparaît être divergeante.

Merci pour votre aide.
Mikael

Posté par re : Nature d'une série (développement limité?) 02-12-09 à 13:51

Aie c'est quoi cette vilaine inégalité ?

Posté par re : Nature d'une série (développement limité?) 02-12-09 à 13:51

Merci infophile, je vais essayer de reprendre tes indications et poursuivre!
J'avais pris x à la place de n pour que l'existence du développement limité soit légitimé par la classe $C^(quelquechose$ ) des fonctions considérées sur mais je comptais bien repasser infine à n
(je ne sais pas si c'était bien nécessaire d'introduire x)

Merci beaucoup!

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