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Nature d'une série - Riemann

Posté par
Froware 18-06-18 à 19:21

Bonjour,

comment appliquer la comparaison à une intégrale à la série Un = \frac{ln(n)}{n^{a}} ?
J'ai fait les cas a <1 et a > 1 avec Riemann mais pour a=1 je suis un peu perdu
merci par avance de votre aide,

Posté par
larrechre : Nature d'une série - Riemann 18-06-18 à 19:35

Bonjour,

Voir si l'on ne pourrait pas comparer à une intégrale simple...

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 18-06-18 à 21:09

Oui ça j'ai bien compris, mais je ne vois pas trop quelle intégrale prendre ?

Posté par
carpediemre : Nature d'une série - Riemann 18-06-18 à 21:10

salut

ne connais-tu pas le théorème de comparaison série -intégrale ?

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 19-06-18 à 13:27

Bonjour,

ça date du début d'année et je ne me souviens plus trop; je vais m'y replonger pour voir ce que je peux y trouver,
merci,

Posté par
Camélia Correcteurre : Nature d'une série - Riemann 19-06-18 à 14:33

Bonjour

Il est toujours bon de se plonger dans ses cours, mais… ici pour a=1 on a une belle primitive.

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 19-06-18 à 16:59

Bonjour,

Pour a=1  on a Un = \frac{ln(n)}{n} [tex] \\ Une primitive de [tex]Un = \frac{ln(n)^{2}}{2}

Donc on encadre de cette façon (car Un est décroissante ) :

\frac{ln(n+1)^{2}}{2}   \leq      Un = \frac{ln(n)}{n}  \leq  \frac{ln(n)^{2}}{2}


Or les primitives tendent vers + donc la suite diverge ?

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 19-06-18 à 17:03

Pardon, le message est parti tout seul;


Pour a=1  on a  Un = \frac{ln(n)}{n}

Une primitive de Un est \frac{ln(n)^{2}}{2}

Donc on encadre de cette façon (car Un est décroissante ) :

\frac{ln(n+1)^{2}}{2}   \leq      Un = \frac{ln(n)}{n}  \leq  \frac{ln(n)^{2}}{2}


Or les intégrales entre 1 et n ou n+1 tendent vers +  \propto
donc la suite diverge ?

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 19-06-18 à 17:07

Je me suis un peu emmelé les pinceaux :

\int \frac{l(n+1) }{n} \leq \sum{\frac{ln(n)}{n} }\leq \int \frac{ln(n)}{n}

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 19-06-18 à 17:10

donc :

[ln(n+1)² / 2 ] (entre  1 et  n+1) \leq \sum{\frac{ln(n)}{n} }\leq [ln(n)²/ n] (entre 1 et n)

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 19-06-18 à 19:13

Hors limite de  \int_{0}^{n}{\frac{ln(n+1)²}{2}}
et limite de \int_{1}^{n}{\frac{ln(n)²}{2}} tendent vers +\propto
quand n tend vers + \propto donc les intégrales divergent donc la série diverge ?

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 19-06-18 à 19:16

Je veux dire \int_{1}^{n}{\frac{ln(n)}{n}} tend vers +\propto

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série - Riemann 19-06-18 à 19:46

Bonjour,

pour le cas a=1 pas besoin de comparer avec une intégrale vu que :

\ln(n)/n\geqslant1/n pour n\geqslant3

Posté par
mousse42re : Nature d'une série - Riemann 19-06-18 à 20:11

Bonjour,

Je vais tenter deux réponses :

La première est d'appliquer le théorème de comparaison série-intégrale sans essayer de le redémontrer. Donc on regarde si \int_{a}^{+\infty} f(t) dt   diverge



La seconde est de redémontrer le théorème (pour comprendre ce qu'il se passe) :

f:t\to \dfrac{\ln t}{t} est continue, positive décroissante.


Puisque  \int_{p}^{+\infty} f(t) dt   diverge, avec p quelconque dans \mathbb{N}^*


\int_{p}^{n} f(t) dt =\sum_{k=p}^{n-1}\int_{k}^{k+1} f(t) dt<\sum_{k=p}^{n-1}\int_{k}^{k+1} f(k) dt =\sum_{k=p}^{n-1} f(k) (relation de Chasles + f décroissante)

puisque \lim_{n\to +\infty}\int_{p}^{n} f(t) dt=+\infty}, il s'ensuit que Donc \lim_{n\to +\infty}\sum_{k=p}^{n-1} f(k)=+\infty


Ainsi on voit à partir de la démonstration que le calcul de l'intégrale \int_{a}^{+\infty} f(t) dt suffit pour montrer la divergence de \sum f(n)

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 19-06-18 à 21:06

Super, merci beaucoup !

Pour les deux premiers cas, voici ce que j'ai fait :


Si a>1 on se sert du théorème de Riemann avec B € ]a;1{ :n^{b} \frac{ln(n)}{n^{a}} = \frac{ln(n)}{n^{a-b}}   qui tend vers 0 quand n tend vers + \propto
donc la série converge.


Si a <1 on utilise le théorème de Riemann avec B € ]1,a[ :
n^{b} \frac{ln(n)}{n^{a}} = n^{a-b} ln(n)  qui tend vers +   \propto quand n tend vers +  \propto
donc la série diverge.



Est-ce correct ?

Posté par
mousse42re : Nature d'une série - Riemann 19-06-18 à 21:27

Froware @ 19-06-2018 à 21:06

Super, merci beaucoup !

Pour les deux premiers cas, voici ce que j'ai fait :

[bleu]
Si a>1 on se sert du théorème de Riemann avec B € ]a;1{ :n^{b} \frac{ln(n)}{n^{a}} = \frac{ln(n)}{n^{a-b}}   qui tend vers 0 quand n tend vers + \propto
donc la série converge.



a>1 et b\in ]a,1[, je ne comprends pas...

Pourquoi n'utilises-tu pas les notations de Landau??

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 20-06-18 à 06:44

Bonjour,

peut être je peux faire plus simplement :
Si a<1 alors Un> 1/n pour n assez grand et donc la série diverge;
Si a>1 alors pour b € ]1;a[ on a n^{b}\frac{ln(n)}{n^{a}} qui tends vers 0 et donc la série converge ( comme  b € ]1;a[  on a n^{b} o  n^{a} )

Posté par
mousse42re : Nature d'une série - Riemann 20-06-18 à 10:20

ok pour a<1

Par contre pour a>1, c'est incompréhensible, peux-tu nous produire une preuve plus clair en t'appuyant sur des définitions.

Si u_n\underset{+\infty}{=}o(v_n)\iff \forall \varepsilon>0, \exists p\in \mathbb{N}, \forall n\ge p,\quad |u_n|\le |v_n|\varepsilon

Si a>1, note que pour trouver un réel entre 1 et a, il te suffit de prendre \dfrac{a+1}{2}

Posté par
carpediemre : Nature d'une série - Riemann 20-06-18 à 12:40

je ne vois pas pourquoi sortir un n^b quand on invoque le théorème de Riemann ... qui dit exactement que la série ln n/n^a converge pour a > 1

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 20-06-18 à 17:02

Le théorème de Riemann parle de 1/n^a;

Pour a>1  et b € ]1;a[ :

n^{b}\frac{ln(n)}{n^{a}} = n^{b-a} ln(n) (désolé j'avais inversé a et b ...) or a et négatif donc :   n^{b-a} ln(n) tend vers 0, ce qui prouve que \frac{ln(n)}{n^{a}}  est négligeable devant 1/n^b  donc par comparaison de SATP comme série 1/n^b avec a >1 diverge alors ln(n)/n^a diverge

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 20-06-18 à 17:04

*a est négatif
et b € ]1,a[ donc  [text] n^{b-a} ln(n) [/text]

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 20-06-18 à 17:05

donc n^{b-a} ln(n) tend vers 0

Posté par
mousse42re : Nature d'une série - Riemann 20-06-18 à 21:41

pour reprendre ton raisonnement avec b\in ]1,a[

On pose v_n=\dfrac{1}{n^b}

Puisque \dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{n^b\ln n}{n^a}=\dfrac{\ln n}{n^{a-b}}\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}0 car a-b>0

Dire que \dfrac{\ln n}{n^{a-b}}\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}0

est équivalent à dire que pour tout \varepsilon>0, il existe un N\in \mathbb{N}, n>N, |u_n|<\varepsilon |v_n|

On sait que \sum v_n converge (b>1), et puisque on a cette inégalité  u_n<\varepsilon \cdot v_n

à partir de là, tu devrais pouvoir conclure.

Posté par
Frowarere : Nature d'une série - Riemann 21-06-18 à 17:42

Oui ! merci,


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