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Nature de la courbe

Posté par
pikozie
05-03-22 à 15:18

Bonjour à tous...  Depuis un certain temps je suis entrain de chercher une solution à cet exercice, mais je n'y arrive. J'ai besoin de votre aide:

Déterminer la nature de la courbe donner par l'équation : (x-2y+5)²=5[(x-1)²+(y+3)²]

Merci d'avance...

Posté par
lake
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 15:43

Bonjour,

Soit F(1,-3) et \Delta \,:x-2y+5=0

Il semblerait que ton équation traduit : MF^2=[d(M,\Delta)]^2

Posté par
pikozie
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 17:08

Oui en effet :

MF²=(x-1)²+(y+3)²

d(M,)=\frac{|x-2y+5|}{racine de 5}


Mais je ne sais pas vraiment comment interpréter ce résultat... Je ne le vois pas dans mon cour

Posté par
lake
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 17:10

Voyons : appelons H le projeté orthogonal de M sur \Delta.

  MF^2=[d(M,\Delta)]^2\Longleftrightarrow MF=MH

Ça ne te dit rien ?

Posté par
pikozie
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 17:13

Ah oui excentricité

Posté par
lake
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 17:14

Enfin bon, ici, l'excentricité vaut 1.

  MF=MH : c'est la définition d'une certaine conique ...

Posté par
pikozie
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 17:15

Donc celà donne: \frac{MF}{MH}=1 C'est donc une parabole ?

Posté par
lake
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 17:18

Mais oui : la parabole de foyer F(1,-3) et de directrice \Delta d'équation x-2y+5=0.
Cela mérite un petit dessin :

Nature de la courbe

Posté par
pikozie
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 17:21

Vraiment je vous remercie du fond du cœur... Je n'aurai pas espérer jusqu'à ce point.

Merci merci

Posté par
lake
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 17:22

De rien pikozie

Posté par
philgr22
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 17:24

Bonsoir ,
Juste une remarque ,pour éviter la devinette du début ;tu fais apparaître la distance MFen divisant par 5 .C'est un réflexe qu'on t'a surement donné en cours.

Posté par
philgr22
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 17:25

Au fait, bonsoir lake!!

Posté par
lake
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 17:32

Bonsoir philgr22

Posté par
lake
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 17:43

>>pikozie :

Remarque que si à la place du 5, on avait eu un paramètre a positif, on aurait obtenu une ellipse ou une hyperbole suivant que a>5 ou a<5

Posté par
pikozie
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 20:08

Je voulais poser la question...

Et si c'est dans le cas d'une hyperbole comment on aurait pu construire le deuxième foyer et la deuxième directrice ?

Pareil... Pour l'ellipse comment j'aurais pu avoir les sommets...?

Merci !

Posté par
lake
re : Nature de la courbe 05-03-22 à 21:21

Ma notation avec a n'était pas terrible. Je remplace donc par m réel strictement positif et différent de 5 (cas de la parabole déjà réglé)

  (x-2y+5)^2-m[(x-1)^2+(y+3)^2]=0  (1)

Nous sommes donc dans le cas d'une conique à centre (ellipse ou hyperbole).

Une solution consiste à déterminer les coordonnées de ce centre en fonction de m.
Le second foyer et la seconde directrice seront symétriques du premier foyer et de la première directrice par rapport à ce centre. Les calculs seront relativement simples.
Malheureusement, je ne connais pas les moyens dont tu disposes pour déterminer ce centre à partir de l'équation (1).

Tout ce que je peux te donner, c'est un résultat quant à ce centre O :

   O\left(\dfrac{m+7}{m-5},-\dfrac{3(m+3)}{m-5}\right)

Mais j'ai l'impression que ce résultat est hors de portée pour toi ...

Dans ton autre topic, j'attends une réaction de ta part avec une équation cartésienne de l'ensemble cherché avant d'intervenir.



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