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Nature de la série

Posté par
processus 17-09-18 à 22:57

Bonsoir je suis actuellement sur un exercice sur les suites de fonction sauf que j'ai besoin de connaître la nature de la série de terme général
u_{n}} =\frac{cosn\theta }{n^\alpha}
Theta est congrue modulo 2pi de et 0<\alpha <1
Merci

Posté par
processusre : Nature de la série 17-09-18 à 22:59

Et bien sûr n un entier naturel

Posté par
verdurinre : Nature de la série 17-09-18 à 23:15

Bonsoir,
il est vraisemblable que la série ne soit pas absolument convergente en général.

Posté par
luzakre : Nature de la série 17-09-18 à 23:20

Bonsoir !

Citation :
Theta est congrue modulo 2pi de

ne veut rien dire et on ignore tout de \theta pour pouvoir te répondre.
.........................................
Si tu connais le théorème d'Abel tu peux l'utiliser (pour des bonnes valeurs de \theta) car la suite n\mapsto\dfrac1{n^{\alpha}} est décroissante de limite 0.

...................................
Sinon il y a une astuce : soit z_n=e^{in\theta}a_n où n\mapsto a_n est réelle, décroissante, de limite 0.
Puisque z_ne^{i\theta}-z_{n+1}=e^{i(n+1)\theta}(a_n-a_{n+1}), en notant Z_n la somme partielle des z_n, tu trouves que   n\mapsto (e^i\theta}-1)Zn est une suite convergente et tu peux conclure (toujours pour des bonnes valeurs de \theta).

Posté par
processusre : Nature de la série 17-09-18 à 23:32

Oui merci je prends les 2, j'avais pas poussé la réflexion loin... Je merci beaucoup

Posté par
processusre : Nature de la série 17-09-18 à 23:40

z_ne^{i\theta}-z_{n+1}=e^{i(n+1)\theta}(a_n-a_{n+1})
Ya une erreur là je crois

Posté par
processusre : Nature de la série 17-09-18 à 23:46

Non c'est bon désolé c'est cohérent, merci encore

Posté par
jsvdbre : Nature de la série 18-09-18 à 00:03

Bonsoir

Effectivement, le théorème d'Abel est le théorème rêvé pour ce type de série

Posté par
processusre : Nature de la série 18-09-18 à 12:23

luzak @ 17-09-2018 à 23:20

Bonsoir !
Citation :
Theta est congrue modulo 2pi de

ne veut rien dire et on ignore tout de \theta pour pouvoir te répondre.
.........................................
Si tu connais le théorème d'Abel tu peux l'utiliser (pour des bonnes valeurs de \theta) car la suite n\mapsto\dfrac1{n^{\alpha}} est décroissante de limite 0.

...................................
Sinon il y a une astuce : soit z_n=e^{in\theta}a_n où n\mapsto a_n est réelle, décroissante, de limite 0.
Puisque z_ne^{i\theta}-z_{n+1}=e^{i(n+1)\theta}(a_n-a_{n+1}), en notant Z_n la somme partielle des z_n, tu trouves que   n\mapsto (e^i\theta}-1)Zn est une suite convergente et tu peux conclure (toujours pour des bonnes valeurs de \theta).

Bonjour j'arrive pas à bien saisir le sens de votre deuxième méthode

Posté par
luzakre : Nature de la série 18-09-18 à 17:50

Tu avais déjà dit que c'était ok !
Bon, retournons à la mine de sel !

Avec e^{i\theta}z_n-z_{n+1}=e^{i(n+1)\theta}(a_n-a_{n+1}) si tu fais la sommation entre 1 (ou 0) et n tu obtiens

e^{i\theta}Z_n-Z_n=e^{i(n+1)\theta}a_{n+1}+\sum_{1\leqslant k\leqslant n}e^{i(k+1)\theta}(a_k-a_{k+1})
donc (e^{i\theta}-1)Z_n est la somme d'une suite de limite 0 et de la somme partielle d'une série absolument convergente car |e^{i(k+1)\theta}(a_k-a_{k+1})|=|a_k-a_{k+1}|=a_k-a_{k+1} (suite réelle décroissante...) et la série des modules est convergente par télescopage.

Posté par
processusre : Nature de la série 18-09-18 à 22:23

Bein si je somme j'aurai
{\sum_{k=0}^{n}{e^¡^\theta }}
e^{i\theta} {\sum_{k=0}^{n}{(z_{{k}}-z_{{k+1}})}=\sum_{k=0}^{n}{e^{i(k+1)\theta} (a_{{k}}-a_{k+1})}
Mais après de là à votre ligne je ne me retrouve pas

Posté par
luzakre : Nature de la série 18-09-18 à 23:19

Tu ne sais pas lire les parenthèses (ou plutôt tu ne sais pas lire quand il n'y a pas de parenthèses...).
Le membre de gauche :

\sum_{1\leqslant k\leqslant n}(e^{i\theta}z_k-z_{k+1})=e^{i\theta}Z_n-(Z_n-z_1+z_{n+1})=(e^{i\theta}-1)Z_n+z_1-z_{n+1}
D'accord, j'ai oublié le correctif z_1.

Le membre de droite : \sum_{1\leqslant k\leqslant n}e^{i(k+1)\theta}(a_k-a_{k+1})

Donc (e^{i\theta}-1)Z_n=-z_1+z_{n+1}+\sum_{1\leqslant k\leqslant n}e^{i(k+1)\theta}(a_k-a_{k+1})

La suite n\mapsto-z_1+z_{n+1} est convergente
La série \sum e^{i(n+1)\theta}(a_n-a_{n+1}) est absolument convergente, comme déjà dit.
Donc la suite n\mapsto(e^{i\theta}-1)Z_n est convergente et tu conlus en regardant le facteur de Z_n.

Posté par
processusre : Nature de la série 18-09-18 à 23:47

Merci beaucoup jai suivit

Posté par
processusre : Nature de la série 19-09-18 à 00:39

C'est le terme  z1 qui manquait effectivement, et l'astuce c'est poser k'=k+1. Je merci bien. Cette méthode peux marcher pour sinus et également ?

Posté par
luzakre : Nature de la série 19-09-18 à 08:02

Pourquoi pas ?

Posté par
processusre : Nature de la série 19-09-18 à 08:38

Merci bien


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