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Niveau Licence Maths 1e ann
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Nb Complexe MI L1

Posté par
RaphouFou 28-09-17 à 14:20

Bonjour, je suis en 1ère année de licence de MathInfo et je bute sur un exercice...
Voici l'énoncé :
Soient a, b tels que |a|=|b|=1 et ab. Montrer que pour tout z on a :
\frac{z+ab \bar{z}-(a+b)}{a-b} \in i\mathbb{R}

Ce que j'ai fait se résume à cela :
a=e^{i \theta_{1}}
b=e^{i \theta_{2}}
Remplacer a et b dans la fraction puis simplifier mais je bloque...
Si vous pourriez m'aider ce serait super !
Merci beaucoup d'avance !

Posté par
jsvdbre : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 14:27

Bonjour RaphouFou.
Je te propose d'utiliser ceci : Z\in i\R \Leftrightarrow \bar Z = -Z

Posté par
carpediemre : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 14:29

salut

en notant z* le conjugué du nombre complexe alors :

1/ si z = x + iy alors z* = ... ?

2/ |z| = 1 \iff zz^* = 1

3/ à quelle condition un complexe est réel ? imaginaire pur ?

Posté par
RaphouFoure : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 14:36

jsvdb je trouve donc \frac{z(1-ab)-(a+b)}{a-b} mais je ne vois pas comment faire la suite...

carpediem donc z*=x-iy. Un complexe est réel si y=0 et est imaginaire pur si x=0.

Posté par
etniopalre : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 14:40

Tu poses   Z  := \frac{z+ab \bar{z}-(a+b)}{a-b}   et tu regardes si   Z + \bar{Z} = 0   

Posté par
jsvdbre : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 14:44

Tu poses Z = \dfrac{z+ab \bar{z}-(a+b)}{a-b}   
donc \bar Z = \cdots   
donc \bar Z + Z = \cdots = 0
Et tu te sers des indications de carpediem et de \bar {a.b}=\bar a.\bar b et \bar{a+b}=\bar a + \bar b

Posté par
sam1re : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 14:58

bonjour,


-\frac { z+ab\overline { z } -\left( a+b \right)  }{ a-b } =\frac { \overline { z } +\overline { ab } z-\overline { a } -\overline { b }  }{ \overline { a } -\overline { b }  }  

donc

\frac { z+ab\overline { z } -\left( a+b \right)  }{ a-b } +\frac { \overline { z } +\overline { ab } z-\overline { a } -\overline { b }  }{ \overline { a } -\overline { b }  } =0

il faut simplifier cette fraction puis utiliser  l' indication,

Posté par
RaphouFoure : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 14:58

J'obtient : \bar{Z}=\frac{\bar{z}+\bar{ab}z-(\bar{a}+\bar{b})}{\bar{a}-\bar{b}}
Mais \bar{a} n'est pas égale à -a n'est ce pas ?

Posté par
sam1re : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:02

utilise la condition 2 de carpediem

Posté par
jsvdbre : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:03

Ça pourrait, mais dans le cas général, non !

Posté par
jsvdbre : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:09

Tu prends la fraction \dfrac { z+ab\overline { z } -\left( a+b \right)  }{ a-b } +\dfrac { \overline { z } +\overline { ab } z-\overline { a } -\overline { b }  }{ \overline { a } -\overline { b }  } , tu développes, tu simplifies au maximum, et tu regardes si le numérateur est nul ou pas en fonction des hypothèses que tu as sur a et b

Posté par
RaphouFoure : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:10

Je suis donc au stade de sam1.
D'après la condition 2 de carpediem je suis en mesure d'écrire ceci :
|a|=|b|=1 donc \bar{a}*\bar{b}=1

Est-ce ceci ?

Posté par
jsvdbre : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:12

Non, c'est faux; le produit de deux complexes, même de module 1, ne donne pas 1.

Posté par
sam1re : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:15

il faut avant tous développer cette fraction puis procéder à une simplification tu verras sa se simplifie bien

Posté par
RaphouFoure : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:16

Mon problème est que je n'arrive pas à mettre les deux fractions sur une seule ! C'est-à-dire avoir un dénominateur commun...

Posté par
sam1re : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:17

pardon,

le produit en croix...

Posté par
jsvdbre : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:19

Oh !  \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd} ne t'est pas familier ? ... en terminale ? shocking

Posté par
sam1re : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:20

\frac { a }{ b } +\frac { c }{ d } =\frac { ad+bc }{ bd }

Posté par
sam1re : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:21

message croisé

Posté par
jsvdbre : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:22

Oui, nous sommes très zélés pour porter secours à notre ami RaphouFou

Posté par
RaphouFoure : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:40

En effet ça se simplifie facilement
Merci à tous pour votre aide

Posté par
carpediemre : Nb Complexe MI L1 28-09-17 à 15:45

RaphouFou @ 28-09-2017 à 14:36

jsvdb je trouve donc \frac{z(1-ab)-(a+b)}{a-b} mais je ne vois pas comment faire la suite...

carpediem donc z*=x-iy. Un complexe est réel si y=0 et est imaginaire pur si x=0.


il est évident que ce n'est pas cela qui m'intéresse ...

RaphouFou @ 28-09-2017 à 15:10

Je suis donc au stade de sam1.
D'après la condition 2 de carpediem je suis en mesure d'écrire ceci :
|a|=|b|=1 donc \bar{a}*\bar{b}=1 n'importe quoi

Est-ce ceci ?


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