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Niveau Licence Maths 1e ann
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négligeabilité et logarithme népérien

Posté par
eleve_studieux
07-10-11 à 01:30

Oui bonjour, j'ai un truc tout bête dont je n'arrive plus à faire

J'ai besoin de montrer que ln(ln(n)) est négligeable devant ln(n) quand n tend vers + l'infini.

Merci de vos réponses

Posté par
mat-thieu
re : négligeabilité et logarithme népérien 07-10-11 à 01:42

Je te propose ce que je ferai :

\ln(\ln(n))>0 et ln(n)>0 en +\infty

Posté par
mat-thieu
re : négligeabilité et logarithme népérien 07-10-11 à 01:43

Exuse moi, j'ai voulu faire un aperçu^^. Je reprends dans quelques minutes, le temps de re rédiger, dsl...

Posté par
mat-thieu
re : négligeabilité et logarithme népérien 07-10-11 à 01:57

Je te propose ce que je ferai :

\ln(\ln(n)) et \ln(n) sont tous les deux positifs en +\infty. Si leur différence venait à tendre vers -\infty, cela signifierait donc que \ln(\ln(n)) est négligeable devant \ln(n).
Vérifions si c'est le cas !
\ln(\ln(n))-\ln(n)=\ln(\frac{\ln(n)}{n}).
Or, nous savons tous que \ln(n) est négligeable devant n en +\infty, ce qui signifie que le quotient \frac{ln(n)}{n} tend vers 0^+ en +\infty.
Ainsi, par composition de limites, on obtient que \ln(\ln(n))-\ln(n) tend vers -\infty lorsque n tend vers +\infty, ce que nous cherchions à démontrer !

En espérant avoir fait le moins possible d'erreurs....
édit Océane

Posté par
eleve_studieux
re : négligeabilité et logarithme népérien 07-10-11 à 21:43

Bonjour, merci mat-thieu d'avoir répondu.

Cependant, je ne pense pas que cette démonstration soit valable car pour moi il faudrait montrer que ln(ln(x))/ln(x) tend vers 0 quand x---->+


En effet si tu prends les deux fonctions suivantes :
f:x|--->2x
g:x|--->3x
la limite en + de la différence vaut bien + mais la limite du quotient vaut 1.5.
Et donc f n'est pas négligeable devant g en +.

Posté par
eleve_studieux
re : négligeabilité et logarithme népérien 08-10-11 à 17:18

Quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plaît, je cherche à montrer que ln(ln(x)) \over {ln(x)}  tend vers 0 quand x tend vers +

Posté par
kybjm
re : négligeabilité et logarithme népérien 08-10-11 à 17:28

1.Quand x tend vers + , ln(x) tend vers +
2.Quand t tend vers + , ln(t)/t tend vers 0 .

En composant : quand x tend vers +ln(ln(x))/ln(x) 0 .

Posté par
eleve_studieux
re : négligeabilité et logarithme népérien 08-10-11 à 17:55

Génial, merci kybjm



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