Bonjour Ksi.
Cette matrice sera nilpotente si et seulement si sa diagonale est nulle. Ce qui, ici, est visiblement impossible.

C'est à dire s'il y a des 0 sur toute la diagonale ? Ça m'étonne, pourquoi dans ce cas la matrice  3 9 -9    l'est ?
                   2  0  0
                   3  3  -3
Ou alors c'est à cause du reste des éléments de ma matrice ? C'est pas de chance si c'est le cas, puisque mon objectif premier c'est une décomposition d'une matrice en un multiple de matrice identité + une matrice nilpotente :/

bonjour,

la première matrice que tu as écrite est de la forme  D+T avec D diagonale et T nilpotente

D'accord, j'ai mis ces " -n" car je cherchais des valeurs telles que cette matrice + n*Id= ma matrice initiale. Cela signifie que si ma matrice ne peut pas être nilpotente, la décomposition est impossible et j'ai donc fait une erreur avant ?

je ne comprends pas  ce que tu cherches à démontrer,peux-tu clairement donner le texte

Alors en fait, le but est de résoudre un système U(n+1)=AU(n) en trigonalisant une matrice et en utilisant notamment le théorème de Cayley Hamilton et du binôme de Newton comme dans l'exemple. Pour ça, il faut décomposer la matrice triangulaire trouvée en une matrice nilpotente + un multiple d'identité qui en plus sont commutatives (pour utiliser le binôme de newton...)
Je ne suis pas super à l'aise là dedans donc j'espère que j'ai réussi à être clair.

j'ai des doutes sur le premier terme de ta matrice  
si les termes diagonaux sont tous égaux à 1-n  la matrice s'écrit M= D+T=(1-n)I+T
I et T commutent donc si tu veux calculer   tu peux utiliser le binôme de Newton

or ici si  donc il n'y a que deux termes non nuls dans la somme

je ne sais pas si c'est ce qui t'intéresse ?

C'est exactement ça que je veux faire, mais effectivement le soucis c'est que j'ai bien un -1 en premier élément de ma diagonale... Après je me suis peut-être trompé mais normalement c'est bon. Du coup, je ne peux pas faire ça si ma diagonale est bonne telle quelle ?

non cela ne marche pas  dans ce cas car D et T ne commutent pas
tu es sûr du -n-1?

La décomposition de J-D c'est ça Avec les lambda les valeurs propres de ta matrice et les Ti triangulaires supérieures

Si c'est la matrice



que tu veux décomposer (sans les - n), alors c'est possible: T=D+N où





et DN=ND.   D est diagonalisable et N est nilpotente.  Tu peux calculer ainsi (D+N)^n avec la formule du binôme.

C'est exactement ce que je voulais... L'idée d'utiliser un multiple d'identité pour ma nilpotente était donc une erreur. Mais comment as tu procédé ? Tu savais de base que cette matrice N était nilpotente ?

Bonjour,

Soit une indéterminée et le polynôme caractéristique de . L'on a



ce qui fait que



Partant,



et



sont les matrices spectrales associées respectivement aux valeurs propres et . Remarquons encore que . Or, la matrice diagonalisable dans la décomposition de Dunford doit être telle que , d'où



Ainsi obtient-on que

J'ai eu du mal à bien comprendre la méthode utilisée mais j'ai le temps de revenir la voir, en tout cas j'ai pu continué mon exercice, merci beaucoup à tout le monde pour l'aide apportée !