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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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nilradical et radical

Posté par
raisinsec
28-03-21 à 18:35

Salut,

J'ai une question concernant le nilradical d'un anneau quotient. Si on se donne un corps F et qu'on considère l'anneau F[x,y] et l'idéal (x^{2}y^{3}). Je veux calculer nil(F[x,y]/(x^{2}y^{3})) qui est je crois égal à \pi(\sqrt{(x^{2}y^{3})})\pi est la projection canonique.

Mais j'ai du mal à determiner \sqrt{(x^{2}y^{3})}.
Je suis sur la bonne voie ?

Posté par
Ulmiere
re : nilradical et radical 28-03-21 à 20:37

Tu as eu la bonne intuition.
Pour tout polynôme P(x,y)\in F[x,y],

\pi(P(x,y)), la classe de P, est nilpotente :
si et seulement si il existe n tel que la classe de P^n(x,y) soit nulle (le produit passe au quotient)
si et seulement si il existe n tel que P^n(x,y) \in x^2y^3F[x,y]
si et seulement si P(x,y)\in\sqrt{(x^2y^3)} (par définition du radicial)
si et seulement si \pi(P(x,y)) = \pi(\sqrt{(x^2y^3}) (classe d'équivalence)

Ainsi, nil(F[x,y]/(x^2y^3)) = \{\pi(\sqrt{(x^2y^3})\}
Or, le nilradical est le radical de l'élément nul donc c'est un idéal, donc c'est un sous-groupe de F[x,y]/(x^2y^3). Il est réduit à un unique élément donc cet élément est forcément le neutre, (x^2y^3).

Sauf erreur bien-sûr

Posté par
GBZM
re : nilradical et radical 28-03-21 à 21:09

Bonsoir,

Je ne comprends rien à ça :

Ulmiere @ 28-03-2021 à 20:37


Or, le nilradical est le radical de l'élément nul donc c'est un idéal, donc c'est un sous-groupe de F[x,y]/(x^2y^3). Il est réduit à un unique élément donc cet élément est forcément le neutre, (x^2y^3).

Posté par
raisinsec
re : nilradical et radical 28-03-21 à 21:11

Merci pour ta réponse.

Comme GBZM je suis pas sur de comprendre pourquoi il est réduit à un élément. Ici tu dis quenil(F[x,y]/(x^{2}y^{3}))=\left\{\pi(\sqrt{(x^{2}y^{3})}) \right\} qui est donc un seul élément.

Tu prétends que  \pi(a)=\pi(b) si a\sim b ?

  

Posté par
Ulmiere
re : nilradical et radical 28-03-21 à 21:12

1) L'ensemble cherché est un idéal, donc un sous-groupe (additif) de F[x,y]/(x^2y^3), donc il continent son élément neutre additif qui est (x^2y^3).

2) On a dit que l'ensemble cherché n'a qu'un seul élément, donc l'ensemble cherché est \{(x^2y^3)\}

Posté par
raisinsec
re : nilradical et radical 28-03-21 à 21:17

Plutôt \pi (a)= \pi (b) si a,b \in \sqrt{(x^{2}y^{3})}

Posté par
Ulmiere
re : nilradical et radical 28-03-21 à 21:17

raisinsec @ 28-03-2021 à 21:11

Merci pour ta réponse.

Comme GBZM je suis pas sur de comprendre pourquoi il est réduit à un élément. Ici tu dis quenil(F[x,y]/(x^{2}y^{3}))=\left\{\pi(\sqrt{(x^{2}y^{3})}) \right\} qui est donc un seul élément.

Tu prétends que  \pi(a)=\pi(b) si a\sim b ?

  



C'est la définition de la surjection quotient. Deux éléments sont dans la même classe si et seulement si ils sont en relation. Ce sont des classes d'équivalence : si a\in\pi(b), alors \pi(a)=\pi(b)

Posté par
GBZM
re : nilradical et radical 28-03-21 à 21:18

Le nilradical du quotient n'est sûrement pas l'idéal nul.
Que peux-tu dire de l'image de xy dans le quotient ?

Posté par
raisinsec
re : nilradical et radical 28-03-21 à 21:23

Je dirais qu'il est non nul, puisque xy n'est pas dans l'idéal pour des questions de degrés.

Posté par
Ulmiere
re : nilradical et radical 28-03-21 à 21:24

J'ai lu trop vite désolé, le nilradical est \pi(\sqrt{(x^2y^3)}) et non \{\pi(\sqrt{(x^2y^3)})\}

Posté par
GBZM
re : nilradical et radical 28-03-21 à 21:24

Est-il dans le nilradical du quotient ?

Calculer le radical d'un idéal principal d'un anneau factoriel est facile.

Posté par
raisinsec
re : nilradical et radical 28-03-21 à 21:30

Je dirais oui, (xy)^{n} +I=0+I \Leftrightarrow \exists p(x,y) \in F[x,y] tq (xy)^{n}=p(x,y)(x^{2}y^{3})
On peut prendre n=3 et p(x,y)=x non ?

Je n'ai pas encore vu les anneaux factoriels, c'est la suite de mon cours.

Posté par
GBZM
re : nilradical et radical 28-03-21 à 21:37

Je pense que tu peux tout de même voir quels sont les polynômes dont une puissance est divisible par x^2y^3.

Posté par
raisinsec
re : nilradical et radical 29-03-21 à 14:26

Je voudrais montrer que \sqrt{(x^{2}y^{3})} \subset (xy) pour avoir une égalité mais j'ai du mal.

Posté par
GBZM
re : nilradical et radical 29-03-21 à 15:50

Un polynôme dont une puissance est divisible par x^2y^3 est-il divisible par x ? par y ? par xy ?

Posté par
Ulmiere
re : nilradical et radical 29-03-21 à 16:05

Si I est l'idéal engendré par les (a_i)_i et J est l'idéal engendré par les (b_j)_j, IJ = \{\sum_k u_kv_k | (u_k)\subseteq I\textrm{ et }(v_k)\subseteq J \} est aussi l'idéal engendré par les (a_ib_j)_{i,j}. En particulier, (x^2y^3) = (x^2)(y^3).

Tu peux le voir directement dans ce cas si préfères, en notant que \sum_i x^2P_i(x,y)\cdot y^3Q_i(x,y) = \sum_i x^2y^3(P_iQ_i)(x,y) \in (x^2y^3) donc (x^2)(y^3)\subseteq (x^2)(y^3)
Et réciproquement, x^2y^3P(x,y) = (x^2\cdot 1(x,y))\times(y^3\cdot P(x,y)) \in (x^2)(y^3).

On n'a pas toujours IJ = I\cap J, mais on a toujours \sqrt{IJ} = \sqrt{I\cap J}. Là aussi tu peux faire l apreuve manuellement. Nous sommes en train de chercher à montrer que R := \sqrt{(x^2y^3)} = \sqrt{(x^2)\cap(y^3)}.
Puisque IJ\subseteq I\cap J l'inclusion R = \sqrt{IJ}\subseteq\sqrt{I\cap J} est triviale. Réciproquement, si P(x,y)\in \sqrt{I\cap J}, il existe n, A(x,y) et B(x,y) tels que P(x,y)^n = x^2A(x,y) = y^3B(x,y).
D'où P(x,y)^{2n} = x^2y^3 \times A(x,y)B(x,y)\in (x^2y^3) et l'inclusion réciproque.

Et tu es ramené à calculer \sqrt{(x^2)\cap(y^3)} qui est peut-être un peu plus simple, si je ne raconte pas encore n'importe quoi.

Posté par
raisinsec
re : nilradical et radical 29-03-21 à 16:58

Merci pour vos réponses.

Le résultat sur les radicaux des idéaux est intéressant mais ça ne me débloque pas. Comme dit GBZM je dois montrer qu'un polynôme dont une puissance est divisible par x^{2}y^{3} est divisible par x et y et donc xy.

Avec ton résultat on peut procéder légèrement différemment, mais je vois pas pourquoi si la puissance est divisible alors le polynôme est divisible. x est premier ? Je n'arrive pas à montrer que son idéal est premier.

Posté par
Ulmiere
re : nilradical et radical 29-03-21 à 17:14

Est-ce que (x^2) = (x)\cdot(x) ?

Aussi, si P(x,y)^n = x^2y^3Q(x,y) avec n\geqslant 1, que vaut P(0,0) ? Que vaut P(0,y) ? Que vaut P(x,0) ?

Posté par
raisinsec
re : nilradical et radical 29-03-21 à 17:33

Je pense que oui.

Mmh tout est nul non ?

Posté par
Ulmiere
re : nilradical et radical 29-03-21 à 17:40

P(x,y) est une somme pondérée de produits de puissances positives ou nulles de x et de y
En symboles : P(x,y) = \sum a_i x^{\alpha_i}x^{\beta_i}.

P(0,0) est donc le terme constant, et il est nul. Donc P(x,y) est une somme d'un multiple de x et d'un multiple de y : P(x,y) = xA(x,y) + yB(x,y).

P(x,0) correspond aux termes de P(x,y) qui ne comprennent que des puissances de x et pas du tout de y. Similairement pour P(0,y).
Les deux sont nuls donc P(x,y) ne comprend que des termes ayant dse puissances strictement positives de x et y. Donc des multiples de xy.

Posté par
Ulmiere
re : nilradical et radical 29-03-21 à 17:43

erreur : P(x,y) = \sum a_i x^{\alpha_i}y^{\beta_i}, bien-sûr.

Le résultat final c'est P(x,y) = \sum_{i : \alpha_i\beta_i\neq 0} a_ix^{\alpha_i}y^{\beta_i}.

Avec mon indication il faut savoir que \sqrt{I\cap J} = \sqrt{I}\cap\sqrt{J}, ce qui nous ramène à devoir calculer \sqrt{(x)}\cap\sqrt{(y)} = (x)\cap(y) = (xy)

Posté par
raisinsec
re : nilradical et radical 29-03-21 à 18:38

D'accord, je peux savoir pourquoi tu décomposes P comme une somme ? Comme on est en 2 dimensions je suis pas sur de comprendre assez précisément.

Donc on a que \sqrt{IJ}=\sqrt{I \bigcap{J}}=\sqrt{I} \bigcap{\sqrt{J}} pour des idéaux quelconques ? Pas besoin d'être bilatères pour s'assurer que le produit est dans l'intersection ?

Et il suffit de montrer que (x^{2})=(x) et de même pour y c'est ça ?

Posté par
Ulmiere
re : nilradical et radical 29-03-21 à 19:05

Prends un exemple si tu veux.
P(X,Y) = X^2 + Y^3 + 4XY^2 + 5X^2Y + 9XY - 7Y + 3X + 1

P(0,0) annule tous les termes sauf le terme constant, P(0,0) = 1.
Si ça avait été 0, tu vois bien que tous les termes sont soit multiples de X, soit multiples de Y soit des deux.

P(X,0) = X^2 + 3X + 1 correspond à tous les termes où Y n'apparait pas.
P(Y,0) = Y^3 - 7Y + 1 à tous ceux où X n'apparait pas.
Q(X,Y) = 4XY^2 + 5X^2Y + 9XY à tous les autres
Et P(X,Y) = Q(X,Y) + P(X,0) + P(Y,0) - P(0,0).

La remarque "P(x,y) est une somme d'un multiple de x et d'un multiple de y : P(x,y) = xA(x,y) + yB(x,y)" donne 0 = P(x,0) = xA(x,0) donc A(x,0) = 0 et 0 = yB(0,y) donc B(0,y) = 0. Tu dois si tu veux être absolument rigoureux raisonner par récurrence descendante sur le degré. A(X,0) est un polynôme d'une variable.


Oui pour l'égalité sur les idéaux. Une inclusion est évidente puisque I∩J est inclus dans I et dans J. Pour l'autre, si x\in\sqrt{I}\cap\sqrt{J}, il existe n et m tels que x^n\in I et x^m\in J. Donc x^{n+m} = x^nx^m \in IJ\subseteq I\cap J et l'autre inclusion tombe. Evidemment on travaille sur un anneau commutatif parce que F est un corps, donc tous les idéaux sont bilatères. En toute généralité, si I est un idéal à gauche et J un idéal à droite alors IJ \subseteq IA\subseteq I (parce que J est inclus dans A) et symétriquement IJ \subseteq J donc IJ\subseteq I\cap J.


Enfin, il est faux que (x^2) = (x) puisque x est un polynôme multiple de x mais pas de x^2. Ce qui est vrai c'est (x^2) = (x)\cdot(x).
Une fois sous la racine le problème n'en est plus un parce que \sqrt{(x^2)} = \sqrt{(x)(x)} = \sqrt{(x)}\cap\sqrt{(x)}. Il reste quand même à montrer que (x) est radiciel, ce qui revient à dire que nil(F[x,y]/(x)) = {0}. Ce qui est vrai puisqu'on peut identifier F[x,y]/(x) à A = (F[y])[x]/(x) et un élément nilpotent de A c'est un Q(x)+ xF[y] avec Q à coefficients dans F[y] tel que Q(x)^n \in xF[y] ce qui implique Q(0) = 0 puis Q(x) \in xF[y] donc Q = 0_A. Donc nil(F[x,y]/(x)) \simeq \{0_A\}. C'est pour ça que je me suis embrouillé au début du sujet, je suis allé trop vite pour moi-même

Posté par
Ulmiere
re : nilradical et radical 29-03-21 à 19:10

lire \pi_{F[y]}(Q) = 0_A et non Q = 0_A.

Posté par
raisinsec
re : nilradical et radical 29-03-21 à 19:39

Oui pardon j'ai oublié de mettre les racines carrées dans mon égalité.

Pour ce qui est de montrer que (x) est radiciel, je suis d'accord avec ton identification mais j'ai du mal avec la suite.

On peut voir Q comme un polynôme de x à coefficients dans F[y], mais pourquoi un élément nilpotent serait de la forme Q(x)+xF[y] ? Ici on est dans A donc c'est un élément du quotient par (x), donc je mettrais plutôt Q(x)+(x), et si il est nilpotent on a Q^{n}(x)=xP(x) avec P un polynôme en x à coefficients dans F[y]

Posté par
Ulmiere
re : nilradical et radical 29-03-21 à 20:35

Oui, on ne peut pas éditer, j'ai pas osé triple poster. Je voulais bien-sûr dire Q^n(x) \in (x)=xF[y][x], donc Q est dans la classe de 0.

Tant que j'y suis, tu peux en fait te passer de cette histoire d'intersection de radicaux complètement parce que tu as montré que (xy)\subseteq\sqrt{(x^2y^3)}.

L'opération \sqrt{\cdot} est croissante et \sqrt{\sqrt{I}} = \sqrt{I} donc \sqrt{(xy)}\subseteq\sqrt{(x^2y^3)}. Et comme (x^2y^3)\subseteq (xy) tu as l'autre inclusion \sqrt{(x^2y^3)}\subseteq\sqrt{(xy)}.

Ensuite il s'agit comme toujours de montrer que pour qu'une puissance d'un polynôme soit multiple de xy, il faut qu'il soit lui même multiple de xy. On a déjà vu comment faire en évaluant en 0, mais voici encore une autre preuve tarabiscotée. Faire l'identification de mon pavé précédent (fixer y) et faire la division euclidienne par x : P(x) = xQ(x) + R(x) avec deg(R)<deg(P).
Ensuite, F[y][x] est un anneau commutatif donc tu peux utiliser la formule de Newton

yxA(x) = P(x)^n = (xQ(x) + R(x))^n = R(x)^n + \sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i}x^iQ(x)^iR(x)^{n-i}.
Ou bien R est nul et y divise yxA(x) donc x^nQ^n(x) donc Q^n(x) donc Q est dans le radical de (y) et de degré strictement inférieur à celui de P.
Ou bien ce n'est pas le cas et x divise yxA(x) et chaque terme de la somme entre 1 et n donc aussi leur différence R(x)^n. Donc R est dans le radical de (x) et de degré strictement inférieur à celui de P.
Par récurrence sur les degrés et en intervertissant à chaque fois au besoin les rôles de y et x, il suffit de montrer le résultat pour un polynôme de degré 1 en x (l'initialisation) et 0 en y.
Si (a(y)+b(y)x)^n = xyA(x,y), x divise le membre de droite donc (en développant (a+bx)^n) le terme constant a(y) est à la fois multiple de x et scalaire. Donc il est nul et on a b(y)^nx^n = xyA(x,y). y divise le membre de droite et est premier avec x^n donc il divise b(y)^n, donc b(y) et donc P(x,y) = b(y)x = c(y)xy est multiple de xy. Pfiou

Posté par
Ulmiere
re : nilradical et radical 29-03-21 à 20:41

erreur : de degré 1 en x et de degré quelconque en y.

Le fait que y\mid b(y)^n \implies y\mid b(y) est passé sous silence. On écrit la division euclidienne de b(y) par y à nouveau : b(y) = yc(y) + r(y).
On développe b(y)^n et on voit que le terme constant est r(y)^n, donc y divise r(y)^n. Rebelotte récurrence sur le degré cachée dans une récurrence ! Sauf que cette fois y'a plus de x pour déranger. Il faut montrer le cas b(y) affine, qui est trivial b(y) = uy+v et y|b(y) implique y|v parce que y divise aussi uv. Donc v = 0 puis b(y) = uy !

Posté par
raisinsec
re : nilradical et radical 29-03-21 à 21:22

Ah ok d'accord je crois que j'ai compris. Je reviens vers toi si j'ai encore des problèmes. Merci d'avoir pris tout ce temps



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