Soit x appartenant à R+*.
1 / On sait uniquement que f est C1. Montrons que f est deux fois dérivable :
Soit a appartenant à R+*.
On a : lim(x-> a)((f'(x)-f'(a))/(x-a)) = lim(x-> a)((f(1/x)-f(1/a))/(x-a))
par taylor lagrange, on peut trouver c x<c<a tel que :f(1/x)-f(1/a) = (1/x-1/a)f'(c)
donc :
lim(x-> a)((f'(x)-f'(a))/(x-a)) =lim(x-> a)(((1/x-1/a)f'(1/c))/(x-a))=
1/a²*f'(1/a)
cette limite existe donc ce qui nous permet d'affirmer que f est deux fois dérivable !
2/ (a)Analyse :
Soit f une telle fonction.
on a : f'(x) = f(1/x), d'où en dérivant : f"(x) = -1/x²*f'(1/x) = -1/x²*f(x)
On est donc ramené à résoudre l'equation différentielle :
(E) : x²y" + y =0
on pose : t = ln(x)
et : y(x) = f(ln(x))
donc : y'(x)= 1/x*f'(ln(x))
y"(x) = 1/x²*f"(ln(x)) -1/x²*f'(ln(x))
Par ce changement de variable on est ramené à :
(E) <=> x²( 1/x²*f"(ln(x)) -1/x²*f'(ln(x)) + f(ln(x)) = 0
Soit : f" - f' + f = 0
après résolution du trinome caractéristique.
les solutions sont de la forme:
f(t) = e^(1/2*t)(A cos(rac(3)/2*t) + B Sin(rac(3)/2*t))
Donc : y(x) = rac(x)*(A cos(rac(3)/2*ln(x)) + B sin(rac(3)/2*ln(x)))
(b) disons que j'ai la flemme de faire la synthèse
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