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Nombre complexe

Posté par
chercheuse 11-12-07 à 01:18

Bonjour
Pouvez vous m'ader a resoudre cet exercice
Posons E=\mathbb{C}\backslash\{-i\}. Soit
f:E\longleftarrow\frac{z-i}{z+i} quel que soit z\in E.
1) Monter que l'application f est injective.
2) Monter que pour tout z\in E, on a 1-f(z)\neq0.
3) Demontrer l'egalité f(E)=\mathbb{C}\backslash\{1\}.
4)Soit z\in E. Montrer que
1-|f(z)|^{2}=4\frac{\Im mz}{|z+i|^{2}}.
5) Notons \mathbb{U} l'ensemble des nombres complexes de module 1. Montrer que l'on a f(\mathbb{R})=\mathbb{U}\backslash\{1\}.

Pour les questions 1-2-4 j'ai trouvé les resultats
Comment on demontre la question 3 et 5.

Merci infiniment

Posté par
raymond CorrecteurNombre complexe 11-12-07 à 09:15

Bonjour.

3°) On résout l'équation f(z) = Z, Z donné. On arrive à (1-Z).z = i(1+Z)
Donc une solution z ssi Z différent de 1. Conclusion : tout Z 1 a un antécédent.

5°) Si z est réel, la question 4°) donne 1 - |f(z)|² = 0. Donc |f(z)| = 1.


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