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Niveau Maths sup
nombre Complexe !
Posté par ma-t-h
Soit z un complexe et solution de l'équation z^3 + pz+q=0
montrer que : |z|
max(1 ;|p|+|q|)
une indication ??!! Svp
comment sa on conclue j'ai pas très bien compris tu peu détailler tu a utiliser l'inégalitaire triangulaire mais nous dans l'énoncer on a se terme '' max(1 ;|p|+|q|) '' je l'ai pas bien compris se qu'il veux dire merci de m'expliquer !
et pour le terme max(1 ;|p|+|q|) tu peux me l'expliquer plus clairement 
je crois que si je ne le comprends pas je ne résoudrais jamais l'exercice ^^ merci d'avance
max(1 ; |p|+|q|) est le terme le plus grand entre 1 et |p|+|q|
Cela veut donc dire que si |p|+|q| est inférieur à 1, la racine est inférieure à 1, sinon, elle est inférieure à |p|+|q|
salut
en m'inspirant de Nightmare:|z|3
|p||z|+|q| donc si |z|<1 alors |z|<|p|+|q| donc |z|<max(1,|p|+|q|)
et il te reste à traiter le cas |z|>1...
Je m'en vais essayer une démo personnalisée pour cet Exo !
Noter que si z est nul , la majoration est évidente !
Autrement :
1) Si |z|<=1 alors , on peut écrire :
|z|<=|z|^3=|-(pz+q)|<=|p|.|z|+|q|<=|p|+|q|
Ainsi |z|<=Max{1;|p|+|q|} on a même mieux ici |z|<=Min{1;|p|+|q|}
2) Si |z|>1 alors :
|z|^3=|-(pz+q)|<=|p|.|z|+|q|<={|p|+|q|}.|z|
D'ou |z|^2<={|p|+|q|} qui peut s'écrire aussi`|z|<={|p|+|q|}/|z|
Comme |z|>1 alors 1/|z| <1 et par suite |z|<{|p|+|q|}
Par conséquent 1<|z|<{|p|+|q|}
On a alors Max{1;|p|+|q|}={|p|+|q|} et de ce fait là
|z|<=Max{1;|p|+|q|}
Ce qui termine la démonstration !!!
Votre avis ??! Merci d'avance 
En se servant de la logique :
et comme ici on veut prouver :
il suffit de montrer :
et l'idée de Nightmare : fait l'affaire
(sauf erreur bien entendu)
Salut !
Citation :
On a alors Max{1;|p|+|q|}={|p|+|q|}
On a alors Max{1;|p|+|q|}={|p|+|q|}
Là je suis d'accord.
Par contre, je ne vois pas comment en conclure que :
Citation :
|z|<=Max{1;|p|+|q|}
|z|<=Max{1;|p|+|q|}
En effet, pourquoi l'inégalité est-elle large ?
Je ne me souviens jamais si une inégalité large implique la stricte ou le contraire ?
Merci !
mon professeur de mathématique ma proposer une méthode plus élégante
que voici :
raisonnons par cas de disjonction :
*Si max(1;|p|+|q|)=|p|+|q|
si |z| 1 
|z| max(1;|p|+|q|)
si |z| on a z^3+pz+q=0
donc |z^3|=|pz+q| |p||z|+|q|
|z| |p|/|z|+|q|/|z|² |p|+|q|
*Si max(1;|p|+|q|)=1
Si |z| |p|+|q| |z| max(1;|p|+|q|)
Si |z| 
|p|+|q| |z|-|p||q|
|z+p| |q|
On a : |z||z²+p|=|q|
Supposant que |z|1 |z²||z|
donc |z²|-|p| |q|
|z²+p||q|
|z||z²+p||q| [ABSURDE]
donc |z|1 (Double Résultat)