Bonjour, en fait il y en a deux méthodes pour résoudre cette équation:
(i) Méthode trigonométrique qui est la plus facile et qui utilise les relations de Moivre :
z²-2z+1=2i implique que (z-1)²=2i implique qu'il faut chercher les racines carées de (z-1) or en général on a pour les racines nième Zk=racine nième du module*[cos((&+2kpi)/n)+sin((&+2kpi)/n)]or on a:
(z-1)²=2i=2(cos(pi/2)+sin(pi/2))=[2;pi/2]
donc Z0-1=[racine(2);pi/4] en donnant à k=0 implique que
Z0=[racine(2);pi/4]+[1;0]=racine(2)+1;pi/4]+[1;0]=
=[racine(2)+1;pi/4]=(racine(2)+1)*(racine(2)/2+i*racine(2)/2)
et Z1=[racine(2)+1;5*pi/4] en donnant à k=1
     =(racine(2)+1)*(-racine(2)/2-i*racine(2)/2),
Z0=-Z1.

(ii) Méthode algébrique
on a z²-2z+1-2i=0
calculons delta=(-2)²-4*1*(1-2i)=4-4+8i=8i par aprés il faut trouver les racines carrées de (8i)
pour cela prenant T=x+iy et résolvont l'éq T²=8i
cela implique (x+iy)²=8i cad x²-y²+2ixy=8i implique
x²-y²=0 et 2xy=8 implique que xy=4 donc x et y doivent être de même signe,
et x²-y²=0 implique x=y ou x=-y,
donc xy=4 implique x²=4 implique x=2 ou -2 d'où T1=2+2i et T2= -2-2i
D'où Z1=(-b-racine(delta))/2*a=(2-(2+2i))/2=-i et
Z2==(-b+racine(delta))/2*a=(2+(2+2i))/2=2+i.
bonne nuit à tous.

Bonsoir,

Il y a plus rapide pour trouver les racines carrées de 8i.
remarquer que (1+i)²=2i donc 8i=4(1+i)²=[2(1+i)]²=(2+2i)² d'où ...

cela parceque on sait d'avance que (1+i)²=2i sinon pour un débutant on doit lui expliquer les autres méthodes.

merci, même si j'ai rien compris

z²-2z+1-2i=0
z²-2z+1=2i
z²-2z+1=-1+2i+1
(z-1)²= i²+2i1+1²
(z-1)²=(i+1)² mais de la jusqu'a z-1=i+1 j'en suis pas cértain

j'ai oublié de te dire que si on calcule avec z=2+i
on trouve que ça marche!!