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Nombre complexe

Posté par
nirosane 04-10-17 à 20:14

Bonjour pourriez vous m aider pour cet exercice s il vous plait j ai un problème pour résoudre l équation à la question 1)a

Soit n un entier naturel supérieur ou égale à 2. On considère l équation d inconnue z :
(z+1)n=(z-1)n

I) cas particulier
a) résoudre l équation pour n = 2 , n =3 et n =4

b) qu'elles conjecture pouvez vous faire sur le nombre et l'an nature des solutions de l équation dans le cas général ?

II)
Cas général : n , n2

a) vérifier que 1 n est pas solution de l équation , et que pour tout z \{1} :

(z+1)n= (z-1)n k [0,n-1] : (z+1)/(z-1) = eik(2/n)

b) en déduire l ensemble des solutions de l équation , et démontrer vos conjectures

3. Cas particulier n =5
a)Résoudre l équation de deux manières différentes pour n =5
b) dresser le tableau de variation sur [0,pi/2] de la fonction f(x) = cos x - sin x
En déduire que cos (/5) > sin (/5) et que cos (2/5)<sin(2/5)


J ai commencé la 1)a et je trouve pour n =2 : z=0 mais le problème c est que pour z=3 je me retrouve avec 6z2 + 2 = 0 et je sais pas si il faut que je résous ou je suis sur la mauvaise methode

Posté par
nirosanere : Nombre complexe 04-10-17 à 20:25

J ai resolu pour n = 3 j ai deux solution mais pour n = 4  je m'en retrouve avec 8z3 + 8z = 0  mais je ne sais pas le résoudre pourriez vous m aider s il vous plait ?

Posté par
Razesre : Nombre complexe 04-10-17 à 20:35

z\neq 1 et z\neq -1

(z+1)^n=(z-1)^{n}\Leftrightarrow \left (\frac{z+1}{z-1}  \right )^{n}=1\Leftrightarrow Z^{n}=1

Avec Z=\frac{z+1}{z-1}

Résoudre équation en Z

Posté par
nirosanere : Nombre complexe 04-10-17 à 20:36

Ah non c est pour pour la 1) à par contre je bloque à la question b

A part dire qu il y a n-1 solution a chaque fois je ne sais pas quoi dire

Posté par
nirosanere : Nombre complexe 04-10-17 à 20:43

J ai émis d autre conjectures finalement mais je ne sais pas si c est tout :

0 est toujours solution
Les autres solutions sont complexes conjuguées

Posté par
nirosanere : Nombre complexe 04-10-17 à 20:45

Bonsoir razes

Je pense que c est ce qu il faut faire mais plutôt pour la question 2.a

Posté par
nirosanere : Nombre complexe 04-10-17 à 20:56

Pour la 2.a j ai montré l égalité dans le sens direct mais je ne vois pas comment faire en partant de l autre sens

Posté par
nirosanere : Nombre complexe 04-10-17 à 21:04

Je viens de la faire aussi finalement par contre je bloque vraiment pour la question 2.b quelqu'un pourrait m aider s'il vous plait ?

Posté par
nirosanere : Nombre complexe 04-10-17 à 21:20

Quelqu'un pourrait m aider s'il vous plait ?

Posté par
nirosanere : Nombre complexe 04-10-17 à 21:57

De l aide s'il vous plait ?

Posté par
Razesre : Nombre complexe 04-10-17 à 22:06

2) b)

(z+1)^n= (z-1)^n \Leftrightarrow \exists k \in [0,n-1] : \dfrac{z+1}{z-1}= e^{ik\frac{2\pi }{n}}\Leftrightarrow \\ \exists k \in [0,n-1] :(z+1)=(z-1) e^{ik\frac{2\pi }{n}}\Leftrightarrow \exists k \in [0,n-1] :z=\dfrac{e^{ik\frac{2\pi }{n}}-1}{e^{ik\frac{2\pi}{n}}+1}

Divise le numérateur et  le dénominateur par e^{ik\frac{\pi}{n}}, tu verras des forme connues.

Posté par
veledare : Nombre complexe 04-10-17 à 22:24

bonsoir,
*pour la 1)b
tu peux remarquer que l'équation proposée est de degré n-1 les termes en zn se "détruisent"

o est solution uniquement si n est pair

les coefficients sont réels donc si  z0 est une solution complexe \bar z_0 est solution

Posté par
veledare : Nombre complexe 04-10-17 à 22:32

z0 racine complexe non réelle sinon cela ne donne rien de plus

Posté par
nirosanere : Nombre complexe 04-10-17 à 22:36

D accord merci beaucoup
En division le numérateur et le dénominateur je me retrouve avec z= tan(kpi /n)

Mais après je ne vois pas comment démontrer mes conjectures

Posté par
nirosanere : Nombre complexe 04-10-17 à 22:39

Merci beaucoup veleda j ai rectifié les conjectures juste je ne comprend pas le dernier message

Posté par
sam1re : Nombre complexe 04-10-17 à 23:46

Bonsoir,

j ai pris le problème dans l'autre sens , sauf erreur on doit supprimer le 0 de l'ensemble et en plus ce sont des imaginaires purs.


{ \left( z+1 \right)  }^{ n }={ \left( z-1 \right)  }^{ n }\quad \Leftrightarrow \left( \frac { z-1 }{ z+1 }  \right) ^{ n }=1\quad \Leftrightarrow { z }^{ n }=1\\ \\

\Leftrightarrow .....\\


\Leftrightarrow \exists k\in \left\{ 0,,,n-1 \right\} \quad z\left( 1-{ e }^{ \frac { 2ik\pi  }{ n }  } \right) =1+{ e }^{ \frac { 2ik\pi  }{ n }  }\\ \\


or,  1-{ e }^{ \frac { 2ik\pi  }{ n }  }=0\quad \Leftrightarrow k=0\\ \\


\Leftrightarrow \exists k\in \left\{ 1,,,n-1 \right\} \quad ,z=\frac { 1+{ e }^{ \frac { 2ik\pi  }{ n }  } }{ 1-{ e }^{ \frac { 2ik\pi  }{ n }  } } =\frac { 2\cos { \frac { k\pi  }{ n }  } { e }^{ \frac { ik\pi  }{ n }  } }{ -2i\sin { \frac { k\pi  }{ n }  } { e }^{ \frac { ik\pi  }{ n }  } } =\left( \frac { 1 }{ -i }  \right) \cot { \left( \frac { k\pi  }{ n }  \right)  } \\


=i\cot { \left( \frac { k\pi  }{ n }  \right)  }

donc  z\in \i\mathbb {R}

Posté par
lafol Moderateurre : Nombre complexe 05-10-17 à 11:28

Bonjour

nirosane @ 04-10-2017 à 20:25

J ai resolu pour n = 3 j ai deux solution mais pour n = 4 je m'en retrouve avec 8z3 + 8z = 0 mais je ne sais pas le résoudre pourriez vous m aider s il vous plait ?


tu étais sérieux, là ? le 8z en facteur ne t'a pas sauté au nez ?

Posté par
lafol Moderateurre : Nombre complexe 05-10-17 à 11:35

Sinon, à la 1)a) tu as trouvé :

pour n = 2 : une solution, 0
pour n = 3, deux solutions, i\dfrac{\sqrt{3}}{3} et -i\dfrac{\sqrt{3}}{3}
pour n = 4, trois solutions, 0, i et -i

il me semble que tu pouvais conjecturer qu'il y a n-1 solutions, qui sont toutes imaginaires pures
(deux à deux conjuguées n'est pas une conjecture : c'est une certitude concernant une équation à coefficients réels. la solution nulle dans le cas n pair, idem, ce n'est pas une conjecture mais une certitude, il suffit de remplacer z par 0 pour s'en convaincre)


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