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Nombre complexe
Posté par ZKL
Bonsoir, SVP j'ai besion d'aide au niveau de la qestion 3)
On donne la suite de nombre complexes definie par: U0=re^ia où r>0 , a€R et
Un+1=(Un+|Un|)/2.
1) calculer U1.
2)en posant Un=rn e^ian, exprimer rn+1 et an+1 en fonction rn et an ( SVP dans cette question Les "n"et Les "n+1" sont en indice).
3) exprimons la partie réelle An et la partie imaginaire Bn de Un en fonction de r et a.
Bonsoir,
Il faut très certainement essayer sur de petites valeurs, conjecturer et faire une récurrence. Tu as essayé de le faire ?
u(0) = rexp(ia)
2u(1) = rexp(ia) + r = r(exp(ia/2) ( (exp(ia/2) + (exp(-ia/2)) = 2rcos(a/2)(exp(ia/2) donc
u(1) = rcos(a/2)(exp(ia/2)
Si tu remplaces dans ce qui précède r par r(n) et a par a(n) tu montres que si u(n) = r(n)exp(ia(n)) alors u(n+1) = r(n+1)exp(ia(n+1)) à condition de poser r(n+1) = ... et a(n+1) = ...
Attention quand même aux modules et aux ....
il peut y avoir besoin d'ajouter i pi dans l'exponentielle, pour retrouver un module en facteur, si devait devenir négatif en cours de route ....
bonsoir, et deja merci beaucoup pour vos differents aide.
Mais mon soucis est la question 3. je n'avirre pas á exprimer la partie reelle et la partie imaginaire de u_n en fontion de "a" et de "r"
1.Si a = 
ou - u(0) = -r , u(1) = 0 et u(n) = 0 pour tout entier n > 0.
2.Si |a| < , u(1) = rcos(a/2)(exp(ia/2) = r(1)exp(ia(2)) où r(1) = |u(1)| = rcos(a/2) > 0 ( puisque |a/2| < /2 ) et a(1) = a/2 .
Par récurrence u(n) = rcos(a/2n)(exp(ia/2n) ( n 
)
Pour n entier > 0 et |a| < tu as :
Re(u(n)) = rcos²(a/2n)
Im(u(n)) = rcos(a/2n) sin(a/2n-1)
que tu peux exprimer en fonction de cos(a/2n-1) et sin(a/2n-1) si ça te chante .
ZKL @ 23-02-2018 à 15:24
bonsoir, et deja merci beaucoup pour vos differents aide.
Mais mon soucis est la question 3. je n'avirre pas á exprimer la partie reelle et la partie imaginaire de u_n en fontion de "a" et de "r"
je ne comprends pas comment la question 3/ peut poser pb quand on a fait la question 2/ ... que donne etniopal et qui s'en déduit quasi immédiatement ... après avoir bien sur distinguer les cas particuliers ...bonsoir, et deja merci beaucoup pour vos differents aide.
Mais mon soucis est la question 3. je n'avirre pas á exprimer la partie reelle et la partie imaginaire de u_n en fontion de "a" et de "r"