Bonsoir,
J'ai un petit souci sur ce devoir, pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?
Voici l'énoncé :
On considère l'équation (E) où IR
z2-2z cos +1=0
1) a) Résoudre dans l'équation
On notera z1 et z1 barre les deux solutions de ( E)
b) Résoudre dans C (E7/6) et E(5/6)
2) Soit ( E'), ' IR l'équation dont les deux solutions sont z2 et z2 barre.
a) Calculer les nbes réels a,b,c et d en fonction de cos et cos' pour que:
Pour tout z: z4+az3+bz2+cz+d= (z-z1)(z-z1barre)(z-z2)(z-z2 barre)
b) Vérifier que a=c et d=1.
3) Soit le polynôme complexe à coefficients réels défini par :
P(z)=z4+az3+bz2+az+1
a) Démontrer que pour tout z on a:
P(z)=(z-z1)(z-z1barre)(z-z2)(z-z2barre) alors cos et cos' sont des solutions de l'équation du second degré dans:
x2+ (a/2) x+ (b-2)/4=0
b) Déterminer les conditions que doivent vérifier a et b pour qu'il existe des réels et ' satisfaisant l'hypothèse :
P(z)= (z-z1)(z-z1barre)(z-z2)(z-z2barre)
4) Application
Résoudre dans l'équation
z4-2z3+(74/25) z2-2z+1=0
J'ai déjà commencé sur la première question mais je plante sur la suite.
Merci d'avance pour ceux qui veulent m'aider.
Bonsoir,
tu as donc fait la question 1, peut-on avoir plus de détails (ce que tu as fait etc), et où bloques-tu exactement ?
Désolé pour l'erreur dans le sujet. En effet il n'y avait pas de.
Alors, sur la question 1 j'ai cherché ' et j'ai trouvé -sin2 puis J'ai trouvé z1 et son conjugué cos+isin et cos-isin ensuite pour trouver les solutions de (E7/6) et de 5/6 , j'ai remplacé par les angles.
Mais je ne sais pas comment faire pour la 2eme question.
Bonjour
Suite de carpediem
Tu multiplies à gauche et tu multiplies à droite.
Ensuite, c'est de l'identification
A +
Je précise un peu.
Multiplie entre eux les termes de gauche et développe.
Multiplie entre eux les termes de droite et utilise l'expression donnée en question 3
Ensuite tu identifies!
A +
Bonjour, désolé d'encore poursuivre la discussion.
Pour la question 3)a) comment démontrer cette affirmation ?
Oups, la rentrée approche...
Question 3.a :
z4+az3+bz2+az+1 = (z-z1) (z-z1barre)(z-z2) (z-z2barre)
tu identifies d'après ce que tu as trouvé (si tu as tout développé) en question2 :
a = -2(cos+cos')
b = 2+4cos.cos'
Autrement dit :
cos+cos' = -a/2
cos.cos' = (b-2)/4
Ensuite tu te rappelles que si on connait la somme S et le produit P de x1 et x2, alors x1 et x2 sont solutions de l'équation du second degré x²-Sx+P=0
Ici, on a établi que S = cos+cos' = -a/2 et P = (cos.cos' = (b-2)/4.
Donc, cos et cos' sont les solutions de l'équation :
X²+aX/2+(b-2)/4 = 0
A +
Mais il y a un truc que je ne comprends pas, en question 2, en 2/a il nous demande d'abord de calculer a,b c et d en fonction de coset cos' et après il nous demande de vérifier que a=c et d=1 en 2/b
Et dire qu'on l'aurai déjà remarqué en 2)a. Où est le piège ? Comment aurais-je dû répondre à la question 2/a?
Il n'y a pas de piège.
La "vérification" énoncée en 2.b sert en réalité de contrôle, au cas où ta réponse à 2.a serait différente de a=c et d=1
Ta réponse à 2.b est donc : "On vérifie qu'on a bien a=c et d=1", c"est tout.
A +
Bon, voilà les résultats de mes recherches
L'équation du second degré admet des solutions réels ssi 0 donc cos et cos ' existent et et ' satisfont l'hypothèse.
Donc,a2-4b+20. Est-ce correct ?
Tu m'excuseras : je sors d'une séance de chimiothérapie.
Pour la 3
On a démontré que : cos+cos' = -a/2
Comme : -2 cos+cos'2
On a : -2-a/22
La conclusion sur a est alors évidente.
On a aussi démontré que : cos.cos' = (b-2)/4
Comme : -1 cos.cos'1
On a : -1(b-2)/41
La conclusion sur B est alors évidente.
A +
Oups désolé, je ne savais pas. Encore désolé.
Alors c'est faux ce que j'ai proposé pour la question 3?
Ton post d'hier à 20h54 n'est pas la solution.
En effet : si l'équation a 2 solutions (c'est à dire si le discriminant est positif ou nul), ça ne veut pas dire que ces 2 solutions sont comprises entre -1 et +1 (les solutions sont des cosinus : elles DOIVENT donc être comprises entre -1 et +1).
A +
Attendez, on ne prend donc plus en considération que ne doit pas être négatif pour que cos et cos' solution de l'équation existent ?
Ta remarque est apparemment logique mais elle ne sert à rien.
Voici les deux implications que tu dois bien comprendre :
1 / Le discriminant est positif ou nul, DONC l'équation a 2 solutions réelles.
2 / L'équation a 2 solutions réelles, DONC le discriminant est positif ou nul.
Dans ton cas, c'est la deuxième implication qu'il faut utiliser, ce qui donne :
Si on respecte les deux inéquations (-2-a/22 et -1(b-2)/41), alors on est SUR que les deux solutions réelles existent et donc on est SUR que le discriminant est positif ou nul, ce qui signifie qu'il est inutile de chercher à quelles conditions le discriminant est positif ou nul puisqu'on SAIT qu'il l'est!
Et je fais appel à cos-1 pour retrouver et ' pour trouver sinet sin' et aboutir à la factorisation et finalement à la résolution ?
Oui.
Tu as cos et cos'.
Avec la fonction cos-1 tu trouves deux (à 2k près) et deux ' (à 2k près).
A +
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