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Nombre complexe

Posté par Profil Fifaliana36 20-05-19 à 20:48

Bonsoir,
J'ai un petit souci sur ce devoir, pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?
Voici l'énoncé :
On considère l'équation (E) où IR
z2-2z cos +1=0
1) a) Résoudre dans l'équation
On notera z1 et z1 barre les deux solutions de ( E)
b) Résoudre dans C (E7/6) et E(5/6)

2) Soit ( E'), ' IR l'équation dont les deux solutions sont z2 et z2 barre.
a) Calculer les nbes réels a,b,c et d en fonction de cos et cos' pour que:
Pour tout z: z4+az3+bz2+cz+d= (z-z1)(z-z1barre)(z-z2)(z-z2 barre)
b) Vérifier que a=c et d=1.

3) Soit le polynôme complexe à coefficients réels défini par :
P(z)=z4+az3+bz2+az+1
a) Démontrer que pour tout z on a:
P(z)=(z-z1)(z-z1barre)(z-z2)(z-z2barre) alors cos et cos' sont des solutions de l'équation du second degré dans:
x2+ (a/2) x+ (b-2)/4=0

b) Déterminer les conditions que doivent vérifier a et b pour qu'il existe des réels et ' satisfaisant l'hypothèse :
P(z)= (z-z1)(z-z1barre)(z-z2)(z-z2barre)

4) Application
Résoudre dans l'équation
z4-2z3+(74/25) z2-2z+1=0

J'ai déjà commencé sur la première question mais je plante sur la suite.
Merci d'avance pour ceux qui veulent m'aider.

Posté par
malou Webmaster
re : Nombre complexe 20-05-19 à 20:51

revois ton énoncé
il n'y a pas de dans (E)

Posté par
Kernelpanic
re : Nombre complexe 20-05-19 à 21:04

Bonsoir,

tu as donc fait la question 1, peut-on avoir plus de détails (ce que tu as fait etc), et où bloques-tu exactement ?

Posté par
thierry45mada
re : Nombre complexe 20-05-19 à 21:58

Bonsoir

Où en es-tu de la question 2?

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 21-05-19 à 17:52

Désolé pour l'erreur dans le sujet. En effet il n'y avait pas de.
Alors, sur la question 1 j'ai cherché ' et j'ai trouvé -sin2 puis J'ai trouvé z1 et son conjugué cos+isin et cos-isin ensuite pour trouver les solutions de (E7/6) et de 5/6 , j'ai remplacé par les angles.
Mais je ne sais pas comment faire pour la 2eme question.

Posté par
carpediem
re : Nombre complexe 21-05-19 à 18:02

salut

z^2 - 2z \cos a +1 = (z - z_1)(z - \bar z_1)
 \\ 
 \\ z^2 - 2z \cos b + 1 = (z - z_2)(z - \bar z_2)

le produit des deux membres de gauches est ...

Posté par
thierry45mada
re : Nombre complexe 21-05-19 à 19:47

Bonjour

Suite de carpediem

Tu multiplies à gauche et tu multiplies à droite.
Ensuite, c'est de l'identification

A +

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 21-05-19 à 20:32

D'accord mais pour la suite, j'ai vraiment besoin d'aide. Svp

Posté par
carpediem
re : Nombre complexe 22-05-19 à 09:06

si tu as fait 2a/ alors les questions suivantes en découlent immédiatement ... donc montre nous ...

Posté par
thierry45mada
re : Nombre complexe 22-05-19 à 19:48

Je précise un peu.

Multiplie entre eux les termes de gauche et développe.
Multiplie entre eux les termes de droite et utilise l'expression donnée en question 3

Ensuite tu identifies!

A +

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 25-05-19 à 20:37

Ok, merci pour le tuyau.

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 24-08-19 à 20:10

Bonjour, désolé d'encore poursuivre la discussion.
Pour la question 3)a) comment démontrer cette affirmation ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 25-08-19 à 15:03

S'il vous plaît.

Posté par
thierry45mada
re : Nombre complexe 25-08-19 à 17:13

Oups, la rentrée approche...

Question 3.a :
z4+az3+bz2+az+1 = (z-z1) (z-z1barre)(z-z2) (z-z2barre)

tu identifies d'après ce que tu as trouvé (si tu as tout développé) en question2 :
a = -2(cos+cos')
b = 2+4cos.cos'

Autrement dit :
cos+cos' = -a/2
cos.cos' = (b-2)/4

Ensuite tu te rappelles que si on connait la somme S et le produit P de x1 et x2, alors x1 et x2 sont solutions de l'équation du second degré x²-Sx+P=0

Ici, on a établi que S = cos+cos' = -a/2 et P = (cos.cos' = (b-2)/4.

Donc, cos et cos' sont les solutions de l'équation :
X²+aX/2+(b-2)/4 = 0

A +

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 25-08-19 à 20:05

Merci beaucoup.

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 25-08-19 à 20:35

Mais il y a un truc que je ne comprends pas, en question 2, en 2/a il nous demande d'abord de calculer a,b c et d en fonction de coset cos' et après il nous demande de vérifier que a=c et d=1 en 2/b
Et dire qu'on l'aurai déjà remarqué en 2)a. Où est le piège ? Comment aurais-je dû répondre à la question 2/a?

Posté par
thierry45mada
re : Nombre complexe 25-08-19 à 22:34

Il n'y a pas de piège.
La "vérification" énoncée en 2.b sert en réalité de contrôle, au cas où ta réponse à 2.a serait différente de a=c et d=1

Ta réponse à 2.b est donc : "On vérifie qu'on a bien a=c et d=1", c"est tout.

A +

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 26-08-19 à 07:40

Merci, mais pour la 3) je ne sais pas trop comment m'y prendre.
Pourriez vous m'aider svp?

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 26-08-19 à 20:54

Bon, voilà les résultats de mes recherches
L'équation du second degré admet des solutions réels ssi 0 donc cos et cos ' existent et et ' satisfont l'hypothèse.
Donc,a2-4b+20. Est-ce correct ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 27-08-19 à 17:55

S'il vous plaît, j'aurais besoin d'un Feedback là.

Posté par
thierry45mada
re : Nombre complexe 27-08-19 à 19:34

Tu m'excuseras : je sors d'une séance de chimiothérapie.

Pour la 3
On a démontré que : cos+cos' = -a/2
Comme : -2 cos+cos'2
On a : -2-a/22
La conclusion sur a est alors évidente.

On a aussi démontré que : cos.cos' = (b-2)/4
Comme : -1 cos.cos'1
On a : -1(b-2)/41
La conclusion sur B est alors évidente.

A +

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 27-08-19 à 20:16

Oups désolé, je ne savais pas. Encore désolé.
Alors c'est faux ce que j'ai proposé pour la question 3?

Posté par
thierry45mada
re : Nombre complexe 27-08-19 à 20:54

Ton post d'hier à 20h54 n'est pas la solution.
En effet : si l'équation a 2 solutions (c'est à dire si le discriminant est positif ou nul), ça ne veut pas dire que ces 2 solutions sont comprises entre -1 et +1 (les solutions sont des cosinus : elles DOIVENT donc être comprises entre -1 et +1).

A +

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 27-08-19 à 22:06

D'accord merci beaucoup

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 29-08-19 à 20:33

Attendez, on ne prend donc plus en considération que ne doit pas être négatif pour que cos et cos' solution de l'équation existent ?

Posté par
thierry45mada
re : Nombre complexe 29-08-19 à 21:51

Ta remarque est apparemment logique mais elle ne sert à rien.

Voici les deux implications que tu dois bien comprendre :
1 / Le discriminant est positif ou nul, DONC l'équation a 2 solutions réelles.
2 / L'équation a 2 solutions réelles, DONC le discriminant est positif ou nul.

Dans ton cas, c'est la deuxième implication qu'il faut utiliser, ce qui donne :
Si on respecte les deux inéquations (-2-a/22 et -1(b-2)/41), alors on est SUR que les deux solutions réelles existent et donc on est SUR que le discriminant est positif ou nul, ce qui signifie qu'il est inutile de chercher à quelles conditions le discriminant est positif ou nul puisqu'on SAIT qu'il l'est!

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 29-08-19 à 21:54

Pour l'application c)
J'ai trouvé cos=2/5 et cos'=3/5
Est-vrai?

Posté par
thierry45mada
re : Nombre complexe 29-08-19 à 23:56

La solution est bien cos=2/5 et cos'=3/5

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 30-08-19 à 13:58

Et je fais appel à cos-1 pour retrouver et ' pour trouver sinet sin' et aboutir à la factorisation et finalement à la résolution ?

Posté par
thierry45mada
re : Nombre complexe 01-09-19 à 19:31

Si tu y tiens.
Je n'ai pas vu où on ne te demande pas de déterminer ou '...

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 02-09-19 à 16:54

Donc cette démarche pour résoudre l'équation P(z)=0 est elle correcte?

Posté par
thierry45mada
re : Nombre complexe 03-09-19 à 15:50

Oui.
Tu as cos et cos'.
Avec la fonction cos-1 tu trouves deux (à 2k près) et deux ' (à 2k près).
A +

Posté par Profil Fifaliana36re : Nombre complexe 03-09-19 à 19:41

Merci beaucoup pour tout



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