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Posté par
Sokkok 30-10-21 à 23:59

Bonjour j'ai une question sur cet exercice j'ai pas compris le résultat :

on a  : \huge w = (\frac{1+i}{\sqrt{2}})^{(\frac{2+i}{3})}


donc on a :  \huge w = (\frac{1+i}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} = cos\frac{\pi }{4} + isin\frac{\pi }{4} = e^{i\frac{\pi }{4}}

On obtient  :

\huge z = (e^{i\frac{\pi }{4}})^{\frac{2}{3}+i\frac{1}{3}} = e^{i\frac{\pi }{3}} . e^{-\frac{\pi }{12}} = e^{-\frac{\pi }{12}}(cos\frac{\pi }{3} + isin\frac{\pi }{3})

donc on a :

\huge z = \frac{1}{2}.e^{-\frac{\pi }{12}}(1+i\sqrt{3})

En fait j'ai deux questions que je ne comprends pas :  

pourquoi ça donne  : \huge e^{\frac{i\pi }{3}} mais quand je fais calcule il faut avoir  

\huge e^{\frac{i\pi }{6}} ???

Pourquoi la fin de résultat on obtient    \huge \frac{1}{2}e^{\frac{\pi }{12}}  ???

Posté par
jsvdbre : Nombre Complexe 31-10-21 à 00:22

Bonsoir Sokkok.

Citation :
pourquoi ça donne  : \Large e^{i\pi /3} mais quand je fais calcule il faut avoir \Large e^{i\pi /6} ???

L'erreur est ici :
Citation :
On obtient  :
\Large z = (e^{i\frac{\pi }{{\red \cancel 4}{\blue 2}}})^{\frac{{\red \cancel 2}}{{\blue 3}}+i\frac{1}{3}} = e^{i\frac{\pi }{{\red \cancel 3}{\blue 6}}} . e^{-\frac{\pi }{12}} = e^{-\frac{\pi }{12}}(cos\frac{\pi }{3} + isin\frac{\pi }{3})


Citation :
Pourquoi la fin de résultat on obtient   \Large \frac{1}{2}e^{{\red -}\frac{\pi }{12}}  ???

Parce que : \cos\frac{\pi }{3} = 1/2 et \sin\frac{\pi }{3} = \sqrt 3/2 et il y a donc un coefficient 1/2 qui sort.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre Complexe 31-10-21 à 07:11

Bonjour,
@Sokkok
Je suppose une coquille au départ.

C'est z et pas \ w ; donc z = (\frac{1+i}{\sqrt{2}})^{(\frac{2+i}{3})}

@jsvdb,
Finalement, c'est /6 ou /3 ?
Perso, je trouve du /6 ; donc du \sqrt{3}+i à la fin dans la parenthèse au lieu de 1+i\sqrt{3}.

Posté par
Sokkokre : Nombre Complexe 31-10-21 à 11:33

Merci beaucoup de votre réponse,

Sylvieg Oui j'ai trouvé à la fin comme ça aussi  \large (\sqrt{3} + i)


En fait je refais j'ai toujour trouver  \large e ^{i\frac{\pi }{6}}

Je pense mon prof il est trompé corrigé cet exercice .

ma deuxième question on est oubligé de mettre \large \frac{1}{2} devant \large e^{-\frac{\pi }{12}} ou juste

\large e^{-\frac{\pi }{12}}(\sqrt{3} + i) c'est correct ???

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre Complexe 31-10-21 à 11:50

Ça dépend de la question posée dans l'énoncé.
Si on demande une forme exponentielle, il faut conclure par quelque chose de la forme reit avec t réel et r réel positif.

Posté par
Sokkokre : Nombre Complexe 31-10-21 à 11:52

D'accord Merci


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