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Nombre complexe entier de gauss
Bonjour,
Je viens de réaliser un exercice portant sur les nombres complexes avec la spécificité d'être des entiers de Gauss.
Je bloque sur la dernière question demandant :
Soit k entier positif non nul, déterminer l'ensemble des entiers de gauss z tel que N(z) = 4k-1, sachant que N(z) est le produit de z et de son conjugué.
Donc si z = a+ib alors a et b entiers et N(z) = a2+b2.
Une question précédente a démontré que N(z) est également un entier.
Je n'arrive pas à trouver une piste à partir de a2+b2 = 4k+1.
Pourriez-vous m'aider svp ?
Merci d'avance.
a^2+b^2 = 4k-1
<=> (a^2+b^2 + 1)/4 appartient à Z.
Autrement dit a^2+b^2 congru à -1 (= 3) modulo 4.
Or dans Z/4Z
a pair <=>a^2 = 0
a impair <=> a^2 = 1
0+0 = 0
1 + 1 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
Conclusion : ?
Mais n'était-ce pas
a^2+b^2 = 4k+1 ??
En ce cas les mêmes considétations aboutissent à : il faut et il suffit que a et b n'aient pas la même parité.
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