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Nombre complexes (pour mardi.. please *.*)
Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal (O, u,y) (unité
graphique 2 cm)
1. Determiner et représenter dans le plan P l'ensemble P des points
M dont l'affixe z vérifie : z - i*(complexe conjugué de z, donc
z barre) = 0
2. Au point M d'affixe z = x + iy (x et y désignant des nbes réels
distincts) on fait correspondre le point M' d'affixe z'
défini par:
(je noterais zb le complexe conjugué de z, cad z barre)
z' = f(z) = (z + zb - i) (z - i*zb)
a) Calculer le module de f(i)
(Donner un argument de f(i). En déduire que ( f(i) )^8 est un nombre réel
positif)
b) Determiner les parties réelles et imaginaires du nombre complexe
z vérifiant f'(z) = i
3. a) Calculer les coordonnées du point M' en fonction de celles
du point M
(même si vous ne faites pas tout, même une question, ça m'aiderait!
lol)
a)z-izb=0
on pose z=x+iy
alors zb=x-iy
on remplace:
x+iy-i(x-iy)=0
x+iy-ix-y=0
(x-y)+i(y-x)=0
ce qui donne x=y
l'ensemble est donc la droite d'equation y=x premiere bissectrice du plan.
b) z'=(z+zb-i)(z-izb)
f(i)=(i-i-i)(i-i(-i))=(-i)(i-1)=1+i
|1+i|=rac(1+1)=rac(2)=|f(i)|
arg(f(i))=pi/4
on a alors arg( f(i)^8)=8*arg(f(i))=8*pi/4=2 pi
donc f(i)^8 est un nombre réel et positif (voir un dessin)
b) ojn cherhce f(z)=i
on pose x+iy=z
f(z)=(x+iy+x-iy-i)(x+iy-i(x-iy))
=(2x-i)(x+iy-ix-y)=2x2+2ixy-2ix2-2xy-ix+y-x+iy
=(2x2-2xy+y-x)+i(2xy-2x2-x+y)
ce qui donne (on veut que ca fait i)
2xy-2x2-x+y=1
et 2x2-2xy+y-x=0
on fait la somme: 2y-2x=1
donc y=x+1/2
2x2-2x2-x+x+1/2-x=0
d'ou -x=-1/2 x=1/2 et y=x+1/2=1/2+1/2=1
la solution est z(1/2,1)
3) en reprenant 2) on voit que les coordonnées de M' sont:
Re=2xy-2x2-x+y
Im=2xy-2x2-x+y
sauf erreur (relit un peu quand meme)
good luck man
A+
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