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Nombre d'or et suites

Posté par
maths1234567
06-11-21 à 22:17

Bonjour !

Soit la suite :
{Un+1 = 1+(1/Un)
{U0 = 2
Bornée tel que : 3/2≤Un≤2
J'ai déjà montré que :
|Un+1-| = |Un-|/Un*
donc que |Un+1-| ≤ |Un-|/Un

1) Montrer que |Un+1-|≤ 2/3 |Un-|
2) Par récurrence, montrer que |Un-|≤ (2/3)n
3) Montrer que la suite Un converge, et déterminer sa limite

Je suis bloqué sur ces questions
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci

Posté par
Zormuche
re : Nombre d'or et suites 06-11-21 à 23:04

Bonsoir
Il suffit d'utiliser le fait que U_n est bornée appliqué à l'inégalité  |U_{n+1}-\varphi| \le |U_n-\varphi|/U_n

Posté par
maths1234567
re : Nombre d'or et suites 06-11-21 à 23:12

Je ne suis pas sûr de comprendre, pourriez-vous être plus précis ?

Posté par
Zormuche
re : Nombre d'or et suites 07-11-21 à 00:26

On a d'une part pour tout n,  U_n\ge \dfrac{3}{2}

Et d'autre part,  |U_{n+1}-\varphi|\le\dfrac{|U_n-\varphi|}{\color{Red}U_n}

Que dire par rapport à \dfrac{|U_n-\varphi|}{\frac{3}{2}}  ?

Posté par
maths1234567
re : Nombre d'or et suites 07-11-21 à 00:52

On peut donc dire que :
|Un-|/(3/2)(Un-)/Un
Ce qui équivaut à dire que :
|Un+1-|2/3 |Un-|

Merci beaucoup !!
Pourriez vous également m'aider pour la deuxième question ?

Posté par
maths1234567
re : Nombre d'or et suites 07-11-21 à 00:59

Pour la question 2, je suis bloqué au calcul de l'hérédité de la récurrence
J'ai déjà vérifié que la propriété est vraie au rang initial.
Mais je ne vois pas comment, avec cette information, |Un-|(2/3)n
Je peux arriver à : |Un+1-|(2/3)n+1

Posté par
Zormuche
re : Nombre d'or et suites 07-11-21 à 01:21

C'est une récurrence "classique" de suite géométrique
Il faut juste utiliser la propriété que tu as démontrée juste avant

Posté par
maths1234567
re : Nombre d'or et suites 07-11-21 à 12:39

Je ne vois comment utiliser cette propriété pour démontrer la récurrence

Posté par
maths1234567
re : Nombre d'or et suites 07-11-21 à 15:50

C'est bon j'ai réussi la question 2 ! Merci beaucoup

Pour la 3, je trouve ça pour le moment :

0<|Un-|(2/3)n
Or, la limite de (2/3)n quand n tend vers +l'infini, est 0
On peut dire que par le théorème des gendarmes, |Un-| converge également vers 0
Ainsi, Un converge vers

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
Zormuche
re : Nombre d'or et suites 07-11-21 à 22:16

Oui, c'est bon

Posté par
maths1234567
re : Nombre d'or et suites 12-11-21 à 21:35

Bonsoir, veuillez m'excusez pour ce laps de temps sans réponse.

Merci beaucoup pour toute votre aide apportée et votre temps fourni



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