Bonsoir
Il suffit d'utiliser le fait que U_n est bornée appliqué à l'inégalité  

Je ne suis pas sûr de comprendre, pourriez-vous être plus précis ?

On a d'une part pour tout n,  

Et d'autre part,  

Que dire par rapport à   ?

On peut donc dire que :
|Un-|/(3/2)(Un-)/Un
Ce qui équivaut à dire que :
|Un+1-|2/3 |Un-|

Merci beaucoup !!
Pourriez vous également m'aider pour la deuxième question ?

Pour la question 2, je suis bloqué au calcul de l'hérédité de la récurrence
J'ai déjà vérifié que la propriété est vraie au rang initial.
Mais je ne vois pas comment, avec cette information, |Un-|(2/3)ⁿ
Je peux arriver à : |Un+1-|(2/3)ⁿ⁺¹

C'est une récurrence "classique" de suite géométrique
Il faut juste utiliser la propriété que tu as démontrée juste avant

Je ne vois comment utiliser cette propriété pour démontrer la récurrence

C'est bon j'ai réussi la question 2 ! Merci beaucoup

Pour la 3, je trouve ça pour le moment :

0<|Un-|(2/3)ⁿ
Or, la limite de (2/3)ⁿ quand n tend vers +l'infini, est 0
On peut dire que par le théorème des gendarmes, |Un-| converge également vers 0
Ainsi, Un converge vers

Qu'en pensez-vous ?

Oui, c'est bon

Bonsoir, veuillez m'excusez pour ce laps de temps sans réponse.

Merci beaucoup pour toute votre aide apportée et votre temps fourni