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Nombre de base qui complète une base d'un EV
Bonjour,
j'ai dû mal à comprendre cet exercice sur les dénombrement des bases. Je comprends beaucoup avec la schématisation mais là j'ai dû mal à créer mes schémas : partir de quel ensemble et vers lequel ? comment appliquer le lemme du berger ? ...
Soit E un EV (de dim = n) et F (de dim = m) un SEV de E.
On considère une base (e1,e2 ...em) de F.
On cherche à calculer le nombre de base de E qui complète celle de F. C'est à dire de la forme (e1,..em,em+1, ...en).
Mon idée est de construire un ensemble de famille qui est supplémentaire à F, je l'appelle G . Je dénombre les bases de G de deux façons :
Base de G à n-m éléments parmi n famille libre de E.
Base de G à n-m éléments parmi n-m élément de G.
Le nombre des bases de G dans E sont : (qn-1)(qn-q) ......(qn - qn-m-1).
Le nombre de base de G parmi n-m élément est : (qn-1)(qn-q) ......(qn - qn-m-1).
mais je bloque, je ne sais pas comment poursuivre!
J'ai essayé de raisonner par élément de base. c'est à dire :
(em+1,.....en)
em+1 à qn-m , em+2 à qn-m-1 choix , donc au final j'aurais un résultat de type :
(qn-m - 1) (qn-m - q) ...(qn-m - qn-m-1)
mais je bloque également !
Merci pour votre aide.
Bonjour mias2021
tu es en 1re année ou en 2/3e année ?
ton profil rempli, le niveau se mettait automatiquement, pourquoi l'avoir modifié ?
Bonjour
Enoncé incomplet! Qui est q? En général il y a une infinité de vecteurs qu'on peut ajouter à une famille libre, pour qu'elle reste libre!
Bonjour 
il me semble (sauf erreur) que mias2021 a oublié de mentionner que est le cardinal du corps (commutatif fini) sur lequel
est un espace-vectoriel.
Si c'est bien cela 
le vecteur doit être choisi dans
qui est de cardinal
puis le vecteur doit être choisi dans
qui est de cardinal
jusqu'au vecteur qui doit être choisi dans
qui est de cardinal
le nombre de bases de qui complètent celle de
est donc
sauf erreur de ma part bien entendu
Bonjour mias2021
tu es en 1re année ou en 2/3e année ?
ton profil rempli, le niveau se mettait automatiquement, pourquoi l'avoir modifié ?
Bonjour,
Je me suis trompée dans le profil.
Il s'agit du programme niveau 2ème à 3ème année de Licence en maths (c'est une préparation de concours de maths).
Cdlt.
Bonjour
Enoncé incomplet! Qui est q? En général il y a une infinité de vecteurs qu'on peut ajouter à une famille libre, pour qu'elle reste libre!
q est le cardinal du corps K
Bonjour
il me semble (sauf erreur) que mias2021 a oublié de mentionner que
Oui c'est ça ! merci.
Si c'est bien cela
le vecteur
puis le vecteur
jusqu'au vecteur
le nombre de bases de
sauf erreur de ma part bien entenduJ'avais du mal à structurer mon raisonnement. C'est de bien ça qu'il s'agissait.
Question : on n'enlève pas le vecteur null de l'espace vectoriel ?
c'est à dire on n'écrit pas pour le vecteur em+ : (q^n-q^m - 1) ?
Le vecteur nul de
L'énigme du vecteur nul est résolu! je vous remercie pour votre aide .
Dans la même idée :
F est un SEV de E avec : dim F = m et dim E = n
(e1,.........em) une base de F.
Quel est le nombre N de bases qui complètent (e1,......em) ?
c'est à dire en (e1,.....em,em+1,........en).
Pour cette question j'ai trouvé (avec la méthode de abdelali) :
N= (q^n − q^m) × (q^n − q^(m+1)) × · · · × (q^n − q^(n−1))
e(m+1) : à un choix parmi ce qui reste une fois les vecteur de (1 à m) sont choisi .est-ce bien ça ?
Maintenant, Si F' est un supplémentaire de F, quel est le nombre de ses bases ?
On choisit les bases de F' parmi n-m ? si c'est ça je trouve
D= (q^(n-m) −1 )) × (q^(n-m) − q)) × · · · × (q^(n -m)-q^((n-m)-1).
Je bloque à la question suivante :
Quel est le nombre des sev supplémentaires de F ?
Pour cette question, est-ce qu'il y a une propriétés du cours, une logique avec le dénombrement des parties ou des applications ?
Merci pour vos lumières.
C'est ce qu'on appelle le principe du berger : pour compter ses moutons, il compte les pattes et il divise par quatre.
Ici les moutons sont les supplémentaires, et les pattes les bases de supplémentaires.
C'est ce qu'on appelle le principe du berger : pour compter ses moutons, il compte les pattes et il divise par quatre.
Ici les moutons sont les supplémentaires, et les pattes les bases de supplémentaires.
Donc, le nombre des supplémentaires de F est égale au nombre total de bases complétant une base de F (les pattes) sur le nombre de bases associées à chaque supplémentaire de F (quatre pattes) !
Merci !
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