Bonsoir

as-tu entendu parler de la formule de Vandermonde ?

merci
non j'ai juste vu que :
le nombre de sous ensembles de E est 2^n
et la propriété du triangle de Pascal.
mais je veux bien passer par Vandermonde

C'est un peu trop facile, alors voilà un guidage pour expliquer cette formule

Commençons par garder en tête que (n parmi 2n) désigne le nombre de sous-ensembles de cardinal n d'un ensemble E de cardinal 2n

Il est possible de dénombrer les sous-ensembles de cardinal n de plusieurs façons différentes. D'une part, en disant que c'est égal à (n parmi 2n), d'autre part, de la façon suivante :

On commence par diviser arbitrairement l'ensemble E en deux sous-ensembles disjoints de cardinaux n (appelons ces sous-ensembles A et B). A et B forment alors une partition de E

Puis on déduit que si un sous-ensemble E est de cardinal n, alors il aura k éléments dans A et n-k éléments dans B, k étant un entier.


Ensuite :
Combien de sous-ensembles de E de cardinal n contiennent exactement 0 élément de A ? (et donc, automatiquement, n éléments de B)
Combien de sous-ensembles de E de cardinal n contiennent exactement 1 élément de A ? (et donc, automatiquement, n-1 éléments de B)
Combien de sous-ensembles de E de cardinal n contiennent exactement 2 éléments de A ? (et donc, automatiquement, n-2 éléments de B)
...
Combien de sous-ensembles de E de cardinal n contiennent exactement n éléments de A ? (et donc, automatiquement, 0 élément de B)

En comptant toutes ces questions, on aura déterminé exactement le nombre de sous-ensembles de E de cardinal n.
Et on remarquera que ces questions correspondent exactement à la somme du membre de gauche de ta question