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nombre de Fermat

Posté par
JeSuisMoi77 05-03-18 à 19:32

Bonsoir,
Je bloque à un exercice depuis plusieurs jours et j'aurai besoin d'aide svp:

Citation :
Pour tout nombre n, on appelle n+1-ième nombre de Fermat l'entier: Fn=2^{2^{n}}
+1.
1) Montrer que pour tout n entier naturel, Fn+1-2=F0*F1*...*Fn
2) En déduire que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux


J'ai essayé de partir d'un des deux côtés et de la formule de Fn, mais ça n'a rien donné. Je n'arrive pas à voir comment je peux arriver au membre de droite . De même pour la question 2...

Merci de votre aide

Posté par
mathafou Moderateurre : nombre de Fermat 05-03-18 à 19:41

Bonjour,

2^{n+1} = 2^n\times 2

et donc 2^{2^{n+1}} =\left( 2^{2^n}\right)^2
puis identité remarquable et une petite récurrence

Posté par
jsvdbre : nombre de Fermat 05-03-18 à 19:54

Bonjour.
Je ne résiste pas au plaisir : Les 5 travaux des nombres premiers (1)

Posté par
JeSuisMoi77re : nombre de Fermat 05-03-18 à 20:01

Merci de votre réponse, mais je ne comprends toujours pas.
Je me retrouve avec:
F_{n+1}=\left(2^{2^{n}} \right)^{2}+1
F_{n+1}-2=\left(2^{2^{n}} \right)^{2}-1
\left(2^{2^{n}}-1 \right)\left(2^{2^{n}}+1 \right)
Et je suis bloquée :/

Y a t-il une manière d'exprimer F0*F1*...*Fn autrement?

Posté par
mathafou Moderateurre : nombre de Fermat 05-03-18 à 20:20

le terme avec +1 c'est Fn
donc F_{n+1}-2=\left(2^{2^{n}}-1 \right)\left(2^{2^{n}}+1 \right) = \left(2^{2^{n}}-1 \right)*F_n
(ton "équivaut" noie tout, c'est "égal")
le terme avec -1 ... tu recommences (récurrence disais-je)

ce que jsvdb dit "on voit bien que" dans sa discussion citée.

Posté par
JeSuisMoi77re : nombre de Fermat 05-03-18 à 21:46

Merci à vous


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