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Niveau Maths sup
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Nombre de Fermat

Posté par
KrnT
24-02-21 à 13:16

Bonjour/Bonsoir,
Un exercice m'a donné du fil à retordre mais avec un peu de persévérance je crois être arrivé à ses fins, je ne suis pas du tout sûr de sa démonstration merci de me donner votre avis :
Enoncé :
Soit n un entier naturel non nul.
On a alors :
Si 2k + 1 est premier alors k est une puissance de 2.


Ma démonstration :
On suppose 2k+1 est premier
donc qlq soit p appartenant à P-{2k+1: p ne divise pas 2k+1}
Si k impaire 3\2k+1
d'où k paire donc k=2k'
donc 22k'+1 = 4k'+1 est premier
si k' impaire 5\4k'+1 d'où k' paire
et on sait que x+1\xp+1 donc l'indice sera toujours paire
donc par récurrence k=2n

Posté par
carpediem
re : Nombre de Fermat 24-02-21 à 13:56

salut

c'est convenable mais il faut justifier mieux et on peut faire plus efficace :

si k est impair pourquoi 3 divise 2^k + 1

si k est pair alors tu l'écris directement k = 2^m q avec q impair

ce qui évite la récurrence

quant à la deuxième ligne on s'en fout

Posté par
KrnT
re : Nombre de Fermat 24-02-21 à 14:02

J ai dis que 3 divise 2^k+1 car X+1/X^p + 1 (polynomes)
Pourquoi k =2^m ×q  ??



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