salut

une infinité ...  dénombrable ...

pourtant on peut obtenir une expression du nombre de solutions pour N fixé ...

ha !! donc c'est pour n fixé ok !!

Bonjour,
x+2y+3z = N x = N-2y-3z
On peut donc choisir y et z entiers quelconques, et trouver x.
D'où l'infinité de solutions.

Peut-être que préciser le statut de N, quelles sont les inconnues, et où sont x, y et z rendrait l'exercice plus intéressant

Bonjour

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On vérifie aisément que pour N=1 :une solution
pour N=2 : 2solutions[
pour N=3 : 3solutions[
pour N=4 : 4solutions[
............
peut-on conclure pour N=k : k solutions ?

salut à tous , il s'agit lorsque N( entier) est fixé de trouver le nombre de solutions possibles à cet équation  .. j'ai personnellement obtenue une belle formule et testé quelques cas avec certaines valeurs de N  

et on a pas k solutions si N vaut k

Entiers relatifs ou naturels ????

entiers naturels Sylvieg

Merci.

bonsoir

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suite aux résultats obtenus pour les premières valeurs de N , j'avais l'idée de rechercher un résultat par récurrence mais j'ai vite constaté qu'à partir de N=8 ça ne marche plus

z varie de 0 à  E(n/3)
y varie de 0 à E(n/2)
x varie de 0 à E(n/1)

d'autre part : n = x + 2y + 3z = x - 1 + 2(y - 1) + 3(z + 1) = x + 1 + 2(y + 1) + 3(z - 1)

écrivons alors z = 3q + r avec r {0, 1, 2}

il n'y a qu'une façon d'écrire r = 0 = x + 2y (= 0 + 2 * 0)
il n'y a qu'une façon d'écrire r = 1 = x + 2y (= 1 + 2 * 0)
il y a deux façons d'écrire r = 2 = x + 2y (= 2 + 2 * 0 = 0 + 2 * 1)

enfin il y a deux façons d'écrire 3 = x + 2y (= 1 + 2 * 1 = 3 + 2 * 0)
et il y a trois façons d'écrire 3 = x + 2y + 3z (= 0 + 2 * 0 + 3 * 1 = 1 + 2 * 1 + 3 * 0 = 3 + 2 * 0 + 3 * 0)

sachant que pour tout n on a n = n - 3 + 3

si s(n) est le nombre de solutions de l'équation x + 2y + 3z = n alors

s(3p) = s[3(p - 1)] + 3
s(3p + 1) = s[3(p - 1) + 1] + 1
s(3p + 2) = s[3(p - 1) + 2] + 2

Bonjour,
Fidèle à mon habitude ,j'ai voulu voir le nombre de solutions pour N30

Cela permettra au trouveur de vérifier sa solution...

Bonjour,

J'avais un doute sur les formules de carpediem
j'ai donc recalculé différemment les s(n)

Pour p=2 soit n=6 je trouve s(6)=7
pour p=3 soit n=9 je trouve s(9)=12 ce que vient de confirmer dpi

on n'a pas s(3*p)=s(3*(p-1))+3 mais s(3*p)=s(3*(p-1))+5

Bonjour,

pour n=30 dpi affiche s(30)=90, je trouve 91, mais OK sur les autres valeurs

salut vham : merci d'être attentif à ma production, ça fait toujours plaisir !!

je n'avais pas pris de papier et fait ça devant l'ordi donc je n'étais pas certain de l'exactitude de mes résultats (voire même j'en doutais fortement) ...

je voulais surtout proposer éventuellement une idée de raisonnement (par récurrence) et quelques part j'attendais qu'on réagisse à ma proposition pour la corriger !!

donc merci

de toute façon en regardant le tableau de dpi il ne semble pas qu'avec 5 ça marche aussi

il est clair que pour regarder cela plus sérieusement je ferai pareil : un tableau de valeurs "conséquent" pour mieux voir ce qui se passe ...

comme vous avez bien cherché ...correction ...

N solutions   = [ E((n-  3.E(n/3) +3k)/2 )  +   1]   pour k compris entre 0 et E(n/3)    testé  pour n =5   qui me donne  5 , pour n =9 qui me donne 12 , pour n = 4  qui donne 4 ....

formule pas simple à obtenir j'ai bien trimé ...

Bonsoir,

pour n=6p+1, p entier positif ou nul, je propose s(n)=p(3p+4)+1

>vham
Oui  nb(N30) =91

Au vu de la courbe on va ramer pour trouver en degré 1

j'étais persuadé que le "loustic" allait nous sortir des E(n/3) !!

il fait encore plus fort avec des parties entières de parties entières !!!

et tout comme vham j'avais aussi pensé à travailler modulo 6 ... qui semble peut-être plus efficace pour ne pas se trimbaler des parties entières ...
après on peut toujours revenir à une formule du "type" (celle de) flight  (avec des parties entières)

n = 3q et m = n - 3k pour k [0, q]

m = 2p + r avec r {0, 1}

si m = 2p est pair l'équation x + 2y = m possède m/2 + 1 = p + 1 solutions : (0, p), (2, p - 1, (4, p - 2), ..., (m -2, 1) et (m, 0)

si m = 2p + 1 est impair l'équation x + 2y = m possède m/2 + 1 = p + 1 solutions : (1, p), (3, p - 1), (5, p - 2), ..., (m - 3,  2), (m - 1, 1) et (m, 0)

donc pour chaque k de [0, q] l'équations x + 2y + 3k = n <=> x + 2y = 3(n - k) possède p + 1 solutions

donc s(n) =(q + 1)(p + 1)

...

Bonsoir
Si N=6p le nombre de sol est 3p(p+1)+1
Autrement N=6p+a et le nb de sol est 3p²+(3+a)p+a

Bonsoir.

Je confirme le résultat de derny  (si est un entier compris entre 1 et 5).

Je propose comme nombre de solutions  
(où désigne le nombre de solutions et la partie entière)

Bonjour,
Nous avons enfin la solution qui est comme prévu de degré 2.

Bonjour. Je vous propose de continuer avec N=X+2Y+5Z (je vous laisse chercher)

Bonjour,
Je propose, à tout hasard,

Le hasard fait mal les choses

salut Derny , pour x+2y+5z=N en modifiant legerement ma formule je trouve avec quelques test qui sont concluant la formule suivante :

N _solutions   = [ E((n-  5.E(n/5) +5k)/2 )  +   1]   pour k compris entre 0  et E(n/5)  

testée et ok

J'avais gardé mon bidule qui donne pour N=X+2Y+5Z
Le nombres de solution est valeur entière de (N((N+8)/20)+1

On peut même généraliser  

En disant  N=x+ay+bz

Par exemple pour a= 1/b=3/c=4    NB=Valeur entière (N(N+8)/24)+1   soit

NB solutions      =I N(N+a+b+c)/2abc)+1 I

Peut-être que la dernière formule est bonne, mais il faut ajouter des conditions, tu type PGCD(a,b,c)=1
Autre problème : si a=2, b=3 et c=4,  pour N=1, il n'y a aucune solution, et la formule donne x=1.

dpi , il est ou ton "c" dans l'equation  ?

je sais plus dans quel sens mais a ou b ou c=1  

Bonjour
Vous avez bien « cogité » surtout dpi. Je voulais également en venir à la généralisation : aX+bY+cZ=N
Je n'ai pas fini mon étude mais la formule générale donnée par dpi est à adapter. En effet, lorsque N est égal à l'expression de la partie entière (pour N jusqu'à 100 c'est le cas pour N=20, 30, 50, 60, 80, 90), alors le N précédent ou suivant diffère de 1 de sa formule (pour N=1, 19, 31, 49, 61, 79, 91 il faut enlever le « +1 »). Le cas N=0 est un cas particulier.

J'ai oublié de vous dire que j'ai pris a=2, b=3 et c=5 pour commencer l'étude générale d'où les valeurs d'exceptions données.

Pour N de 0 à 38 les valeurs de la formule générale de dpi

Nous avons bien avancé.

Bonjour. Après avoir étudié plusieurs cas je peux dire qu'une formule donnant la valeur exacte dans tous les cas est impossible. En effet on a parfois des réponses chaotiques alors que les résultats d'une formule ne le sont pas. La formule est exacte dans une majorité de cas en général et, lorsqu'elle ne l'est pas, l'écart est de une unité, rarement plus.
N=aX+bY+cZ  ==> Nb=E[N(N+a+b+c)/2abc]+1   1ou2 dans certains cas
On peut signaler des remarques faciles :
__ Aucune solution pour N < a
__ Pour N < c , Z=0 donc seuls a & b participent