En effet, j'ai fait n'importe quoi.

Du coup :   où

Mais je vois pas quoi en faire de cette application.

D'où sort cet encadrement de ? (là c'est une vraie question, pas cynique, j'ai peut-être zappé ça dans votre énoncé mais j'ai un peu la flemme de tout relire.)

Pour mémoire :

Ramanujan @ 17-07-2018 à 00:22

Je mets la suite.
10/ Montrer que si alors :



Indication : étant donné une surjection de dans on pourra considérer sa restriction à .

Merci lafol

Bien sûr… il s'agit justement de faire une disjonction de cas… : soit elle est surjective, soit elle ne l'est pas...

Si elle est surjective, je dois calculer quoi ?

Faudrait quand même pas perdre de vue l'objectif.

Vous êtes en train de discuter du nombre de manières de construire une application surjective de vers . On vous dit de considérer la restriction d'une telle application à . Soit cette restriction est surjective, auquel cas quels choix a-t-on ? soit elle ne l'est pas, auquel cas quels choix-t-on ? Ce qui donne .

Pour tout k  entier > 0 on pose Ek  = [|1 , k |] .
Si n et p sont des entiers > on note Sur(n,p) l'ensemble des applications surjectives de E_n  sur E_p)  et S(n,p) son cardinal .
On a :   S(n,p) = 0 si n < p  , S(n , n) = n!  et  S(n,1) = 1 .
Supposons  n > p > 1 .
    Pour fabriquer un élément f de  Sur(n,p) on peut se donner
     ..une partie A de E_n ayant p éléments
     ..une injection u de  A vers E_p
     ..une application v de  E_n \ A vers E_p
et  poser f(x) = u(x) si x A et f(x) = v(x) si x A . Cette f peut être notée f_A,u,v
Ceci fait donc intervenir
.. l'ensemble U := P_p(E_n) des parties  de E_n ayant p éléments  dont le cardinal est C(n,p)
..pour chaque A de U ,
       .. l'ensemble  V(A) des  injections de A dans E_p dont le cardinal est p!
       ..l'ensemble  W(A) des applications  de  E_n \ A vers E_p  dont le cardinal est  p^n-p

Le procédé de fabrication de f_a,u,v fournit donc une application  F de l'ensemble X := { (A,u,v) │ …}  vers Sur(n,p)  F : (A,u,v)     f_A,u,v
   Cette application F  est  bijective de X sur Sur(n,p) .
On a donc Card(X) = S(n,p) .
Comme pour chaque A , l'ensemble   U(A) V(A)  possède p!p^n-p éléments , nombre indépendant de A dans    P_p(E_n)  on a :  Card(X) = C(n,p)p!p^n-p

Donc si je comprends bien, à l'issue de cette démonstration imbuvable dont on ne sait même pas le but, on déduit en particulier que s(n,2) vaut , ce qui est grossièrement faux. Il doit donc y avoir une erreur quelque part.

  Je ne vois pas où est l'erreur dans ce qui suit :

Dans  E = [|1 ,  n|] on choisit une partie A à 2 éléments  .Il y en a  n(n - 1)/2 .

A étant choisi  on fabrique (u , v) où  
    u est une bijection  de A sur {1  , 2}  (2 possibilités )
   v est une application de E \ A vers {1 , 2}  (  2^n-2 possibilités )

Il y a donc 2^n-1 choix pour (u,v) .
Donc S(n , 2) = n(n - 1)2^n-2  .

Je ne sais pas, je suis bête et discipliné, on a précédemment établi que ...

On regarde comment construire une surjection de vers … et on se sert de cette restriction !

je peux difficilement en dire davantage sans répondre à la question à votre place

(mais je suis disposé à le faire si vous bloquez vraiment, parce que cela fait un moment que vous cherchez il semble)

Je veux bien j'ai pas réussi

Soit surjective.
Soit :




Si est surjective, il y a manières de la choisir, puis laisse choix.

Sinon,




doit être surjective, ce qui laisse choix, puis de même il y a choix pour .

Par le partitionnement précédent il vient :

Honnêtement ça va trop vite pour moi, j'ai rien compris

Je comprends pas déjà pour comment vous faites pour dénombrer les applications surjectives et comment vous obtenez  
Je comprends pas à quoi correspond votre
Je comprends pas le lien entre et   
Je comprends pas le partitionnement

On fait tout ça pour poser :



si est surjective, et



si elle ne l'est pas.

Il y a donc choix pour et ensuite il reste à voir selon ... tout est écrit plus haut.
Le partitionnement c'est ou bien est surjective, ou bien elle ne l'est pas. J'essaie de vous inspirer cela depuis une bonne dizaine de messages...

(j'identifie    et    à   et    bien sûr, sinon on donne des noms aux éléments, c'est la même chose)