Détail sur le carré et le nombre de carrés qui le composent.

Excusez-moi, j'ai oublié une figure !

salut

et si tu essayais de voir au fur et à mesure pour essayer de trouver une relation

ex pour le carré :

carré de côté | nb de carrés intérieurs
      1                     1
      2                     5
      3                    14
      4                     ?


remarque sur ton exemple tu as oblié de compter les carrés de côtés 3 .....

et idem pour les triangles ...

Bonjour

Si on regarde le grand triangle étage par étage (en partant du sommet) et qu'on note le nombre de triangles qu'on trouve à chaque étage , on obtient :

Etage     Nombre                       Total

1        1                               1
2        1 + 3                           5
3        1 + 2 + 5                      13
4        1 + 2 + 3 + 7                  26
.
.
n        1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + 2 (n-1)

Cordialement

carpediem, précise parce que je vois pas quand tu parles d'oubli !

fm_31, ton calcul est bizarre à mon avis parce que je ne comprends pas trop !

Y a pas un calcul plus simple parce que là, j'ai du mal à cerner ?

Alors pour le triangle :

- nombre de triangles de côté 1 : 16
- nombre de triangles de côté 2 :  6
- nombre de triangles de côté 3 :  3
- nombre de triangles de côté 4 :  1

Ca ne m'aide pas tout pgeod parce fm_31 m'a donné presque la même chose !

>>> fm_31, ton calcul est bizarre à mon avis parce que je ne comprends pas trop !

Il n'y a rien de bizarre dans ce calcul et c'est le seul qui aboutisse à une formule générale .

A chaque étage , il y a tous les petits triangles + tous ceux qu'on peut former avec les étages au dessus . Dans mon décompte , j'ai commencé par tous ceux qu'on peut former avec les étages au dessus (en commençant par le sommet) et je termine par tous les petits triangles de l'étage .

Cordialement

pour le carré de côté 4 il te manque les carrés de côté 3 .....

tu n'as mis que les carrés de côté 1 et 2 ...

dans le carré de côté 4 il y a les carrés de côté 1, 2, 3 et 4 !!

équilatéraux !!

dans le caré de côté 4 tu nous as fait des figures montrant les carrés de côté 1 et 2....

MAIS IL Y A AUSSI DES CARRËS DE CÔTE 3 !!!!

Bonjour , pour les carrés , il faut procéder comme pour les triangles

Etage   Nombre            Total

1        1                           1
2        4 + 1                      6
3        9 + 4 + 1               20
4        16 + 9 + 4 + 1        50
.
.

n        n² + (n-1)² + (n-2)² + .... + 1

le principe pour les carrés s'applique aussi pour les triangles ....

Bonjour

La formule pour le nombre de triangles dans un grand triangle de côté est

(où désigne la partie entière de , c'est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à , par exemple .)

Les premières valeurs sont

Merci frenicle

>>> Pour moi "4 + 1" ça fait 5 et toi tu mets 6.
Idem pour les autres lignes !
Tu as dû oublier quelque chose ou tu as peut-être confondu avec autre chose !

Oui les totaux sont erronés mais le reste est correct . Soit :

Etage   Nombre            Total

1        1                           1
2        4 + 1                      5
3        9 + 4 + 1               14
4        16 + 9 + 4 + 1        40
.
.

n        n² + (n-1)² + (n-2)² + .... + 1

Pour les triangles , mon décompte est à revoir . J'ai effectivement oublié quelques triangles (triangles renversés). Mais l'approche reste valable et simple à condition de rien oublier .

Cordialement

J'ai encore fait une erreur d'addition

4        16 + 9 + 4 + 1        30    (et pas 40)

https://www.ilemaths.net/sujet-devoir-514575.html

bonjour, bonsoir,

tout ce qui a été dit est intéressant.

j'avais fait faire l'exercice il y a quelques temps, et je poste ici la solution (6 pages d'explications).

bonne lecture.

http://www.2shared.com/document/BS3iI3m4/NbTrianglesInTriangle.html :

Bonsoir.
Soit e le nombre d'étages du triangle. Un nombre triangulaire est la somme des premiers nombres entiers.
Empiriquement :
nombre de triangles 'à l'endroit', orientés comme le grand : somme des e premiers nombres triangulaires = e(e+1)(e+2)/6 = (e³+3e²+2e)/6 = (4e³+12e²+8e)/24
nombre de triangles à l'envers :
si e est impair (pair), somme des e premiers nombres triangulaires pairs (impairs) allant du rang 2 (1) au rang e-1
d'après le tableur, on constate que dans les 2n premiers nombres triangulaires, la somme des nombres de rang pair moins la somme des nombre de rang impair est n(n+1); la première de ces sommes vaut donc [2n(2n+1)(2n+2)/6 + n(n+1)]/2 = [n(2n+1)(2n+2)+3n(n+1)]/6 = (4n³+9n²+5n)/6; pour trouver la deuxième de ces sommes, il faut retrancher (6n²+6n)/6 : (4n³+3n²-n)/6

si e est impair, soit e' = e-1
en affectant à 2n la valeur e', la première somme ci-dessus devient (e'³/2 + 9e'²/4  + 5e'/2)/6
= (2e'³+9e'²+10e')/24= (2e³-6e²+6e-2 + 9e²-18e+9 + 10e-10)/24 = (2e³+3e²-2e-3)/24
en ajoutant les triangles à l'endroit : (6e³+15e²+6e-3)/24 = (2e³+5e²+2e-1)/8

si e est pair
en affectant à 2n la valeur e, la deuxième somme ci-dessus devient (e³/2 + 3e²/4 - e/2)/6
= (2e³+3e²-2e)/24
en ajoutant les triangles à l'endroit : (6e³+15e²+6e)/24 = (2e³+5e²+2e)/8

les vingt premiers résultats : 1 5 13 27 48 78 118 170 235 315 411 525 658 812 988 1188 1413 1665 1945 2255

Le pluriel de équilatéral est équilatéraux et non équilatérals comme dans le titre.

Bonjour Masterfree.
Je suis aussi de la vieille école, ayant quitté les cours de mathématiques depuis plus de quarante ans.
Moi-même, je trouve mes explications compliquées : les rédiger a été compliqué pour moi. Je ne connaissais pas la formule et je l'ai composée au fur et à mesure.