Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Nombre premier
Salut,
J'aimerais bien savoir comment corriger cet exercice.
Voici l'énoncé :
Soit E=n^4 + n² +1 avec n appartient à IN.
1)Montrer que E=(n²+1-n)(n²+1+n)
2) E peut il être premier ?
Dans le corrigé, c'est écrit que pour que E soit premier, il faut que n²+1-n=1 et n²+1+n soit différent de 1.
Je ne comprends pas ce dernier truc 
Merci
Bonsoir, oui un nombre est premier s'il n'est divisible que par 1 ou par lui même. Donc dans les deux facteurs (n²+1-n) et (n²+1+n) il faut qu'il y en ait un qui soit égal à 1, (le plus petit, donc n²+1-n=1). Ce qui donne d'ailleurs n(n-1)=0 donc n= 0 ou 1. Ce qui montre que E n'est premier que si n = 0 ou 1 donc si E=1 ou 3. Pour toutes les autres valeurs de n, E ne sera pas premier.
J'ai compris ce que vous avez dit mais j'ai une autre question 
E ne peut-il pas avoir d'autres factorisations ? par exemple E=xyz et E=(n²+1-n)(n²+1+n)
Dans ce cas on ne peut plus considérer E comme un entier premier :/
ben non parce que n²+n+1 et n²-n+1 ne sont pas factorisables dans 
(discriminant négatif si tu as appris)
Désolé j'ai une autre question 
Vous avez dit que (n²+1-n) et (n²+1+n) ne peuvent pas être factorisables car leurs discriminants sont négatifs. Dans ce cas, on parle des facteurs plus petits que [(n²+1-n) et (n²+1+n)] (leurs diviseurs). E ne peut pas avoir d'autres diviseurs (x et y) tel que par exemple x>n²+1+n et y <n²+1-n ??
Merci encore une fois
Oui mais E=(n²+1-n)(n²+1+n) donc s'il existait un diviseur de E plus petit que (n²+1-n) ou (n²+1+n) il diviserait aussi soit (n²+1-n) soit(n²+1+n) or ces deux facteurs n'ont pas de diviseurs plus petits (car ils ne sont pas factorisables) donc ces facteurs n'existent pas.
Je prends l'exemple de 60.
20 et 15 sont des diviseurs de 60. 6 ne divise ni 20 ni 15, pourtant il est diviseur de 60
Parce que 6 n'est pas premier, il a emprunté un diviseur à l'un et à l'autre.
mais si on prend un diviseur premier de E, il divise forcement soit l'un soit l'autre.
donc oui tu as raison, j'aurais dû préciser "s'il existait un diviseur premier de E ..."
pour que E=(n²+1-n)(n²+1+n) soit premier il faut qu'il soit divisible que par lui meme et par 1
il faut donc juste verifier qu'il n'y a pas d'autre diviseurs que 1 et lui meme , n²-n+1 n'a pas de diviseurs autre
que 1 et lui meme car il n'existe pas de solution réelle à l'équation n²-n+1 , de meme pour n²+n+1 et à mon avis c'est
tout
Annuler
connectez vous