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Niveau première
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Nombre premier

Posté par
fedi08
27-05-14 à 21:57

Salut,
J'aimerais bien savoir comment corriger cet exercice.
Voici l'énoncé :
Soit E=n^4 + n² +1 avec n appartient à IN.
1)Montrer que E=(n²+1-n)(n²+1+n)
2) E peut il être premier ?

Dans le corrigé, c'est écrit que pour que E soit premier, il faut que n²+1-n=1 et n²+1+n soit différent de 1.
Je ne comprends pas ce dernier truc


Merci

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre premier 27-05-14 à 22:01

Bonsoir, oui un nombre est premier s'il n'est divisible que par 1 ou par lui même. Donc dans les deux facteurs (n²+1-n) et (n²+1+n) il faut qu'il y en ait un qui soit égal à 1, (le plus petit, donc n²+1-n=1). Ce qui donne d'ailleurs n(n-1)=0 donc n= 0 ou 1. Ce qui montre que E n'est premier que si n = 0 ou 1 donc si E=1 ou 3. Pour toutes les autres valeurs de n, E ne sera pas premier.

Posté par
fedi08
re : Nombre premier 27-05-14 à 22:05

J'ai compris ce que vous avez dit mais j'ai une autre question
E ne peut-il pas avoir d'autres factorisations ? par exemple E=xyz et E=(n²+1-n)(n²+1+n)
Dans ce cas on ne peut plus considérer E comme un entier premier :/

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre premier 27-05-14 à 22:11

ben non parce que n²+n+1 et n²-n+1 ne sont pas factorisables dans (discriminant négatif si tu as appris)

Posté par
fedi08
re : Nombre premier 27-05-14 à 22:17

Désolé j'ai une autre question
Vous avez dit que (n²+1-n) et (n²+1+n) ne peuvent pas être factorisables car leurs discriminants sont négatifs. Dans ce cas, on parle des facteurs plus petits que [(n²+1-n) et (n²+1+n)] (leurs diviseurs). E ne peut pas avoir d'autres diviseurs (x et y) tel que par exemple x>n²+1+n et y <n²+1-n  ??

Merci encore une fois

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre premier 27-05-14 à 22:22

Oui mais E=(n²+1-n)(n²+1+n) donc s'il existait un diviseur de E plus petit que (n²+1-n) ou (n²+1+n) il diviserait aussi soit (n²+1-n) soit(n²+1+n) or ces deux facteurs n'ont pas de diviseurs plus petits (car ils ne sont pas factorisables) donc ces facteurs n'existent pas.

Posté par
fedi08
re : Nombre premier 27-05-14 à 22:27

Je prends l'exemple de 60.
20 et 15 sont des diviseurs de 60. 6 ne divise ni 20 ni 15, pourtant il est diviseur de 60

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre premier 27-05-14 à 22:36

Parce que 6 n'est pas premier, il a emprunté un diviseur à l'un et à l'autre.
mais si on prend un diviseur premier de E, il divise forcement soit l'un soit l'autre.
donc oui tu as raison, j'aurais dû préciser "s'il existait un diviseur premier de E ..."

Posté par
fedi08
re : Nombre premier 27-05-14 à 22:49

Merci beaucoup

Posté par
flight
re : Nombre premier 28-05-14 à 12:24

  pour que E=(n²+1-n)(n²+1+n) soit premier il faut qu'il soit divisible que par lui meme et par 1

il faut donc  juste  verifier qu'il n'y a pas d'autre diviseurs que 1 et lui meme  , n²-n+1 n'a pas de diviseurs autre

que 1 et lui meme car il n'existe pas de solution réelle à l'équation n²-n+1 , de meme pour n²+n+1   et à mon avis c'est

tout

Posté par
fedi08
re : Nombre premier 28-05-14 à 20:16

Merci



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