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Niveau Reprise d'études-Ter
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Nombre premier

Posté par Profil Ramanujan 09-07-19 à 00:39

Bonsoir,

Soit n un entier supérieur ou égal à 3.

Si n n'est pas premier, alors il existe 2 entiers a et b strictement compris entre 1 et n tels que n=ab

Je ne comprends pas pourquoi a,b \in [|2,n-1|]

Pourquoi pas a,b \in [|1,n|]

Par ailleurs comment sait-on que : n=a \times b

Posté par
Jezebeth
re : Nombre premier 09-07-19 à 00:58

Bonjour

Si l'un des deux vaut 1 ou n, on a juste écrit n = n ce qui n'est pas très intéressant, quoique vrai.

Écrire la négation de la définition de "être premier".

Posté par
carpediem
re : Nombre premier 09-07-19 à 10:56

salut

de plus n = 1 * n est vrai pour tout entier ... même les nombres premiers ...

donc le produit n = 1 * n ne caractérise pas les nombres non premiers ...

mais bon c'est quand même élémentaire mais je me pose des questions quand je vois

Ramanujan @ 09-07-2019 à 00:39

Par ailleurs comment sait-on que : n=a \times b
sais-tu ce qu'est un nombre premier ?

Posté par Profil Ramanujanre : Nombre premier 09-07-19 à 11:02

Un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.

Un nombre qui n'est pas premier est un nombre qui admet un diviseur distinct de 1 et lui-même.

Donc c'est n=a \times b avec a \in [|2,n-1 |] mais comment on sait que b aussi est strictement compris entre 1 et n ?

Posté par
lionel52
re : Nombre premier 09-07-19 à 11:12

Exercice niveau minimum ENS ULM, tu devrais poser ça en question post bac....

Si n = ab avec b = 1 alors a  = n donc ça marche pas
Si n = ab avec b = n alors a = 1 donc ça marche pas

Posté par
malou Webmaster
re : Nombre premier 09-07-19 à 11:15

Ramanujan @ 09-07-2019 à 11:02

Un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.

Un nombre qui n'est pas premier est un nombre qui admet un diviseur distinct de 1 et lui-même.

euh...pas vraiment....la seconde phrase n'est pas du tout la négation de la première

Posté par
carpediem
re : Nombre premier 09-07-19 à 11:20

ouais on peut admettre que un signifie au moins un (par définition du produit qui nécessite (au moins) deux arguments)

mais on est certain de rien avec Ramanujan ...

Posté par Profil Ramanujanre : Nombre premier 09-07-19 à 11:24

malou @ 09-07-2019 à 11:15

Ramanujan @ 09-07-2019 à 11:02

Un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.

Un nombre qui n'est pas premier est un nombre qui admet un diviseur distinct de 1 et lui-même.

euh...pas vraiment....la seconde phrase n'est pas du tout la négation de la première


Quel est le contraire de : "Un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même." ?

Posté par Profil Ramanujanre : Nombre premier 09-07-19 à 11:25

lionel52 @ 09-07-2019 à 11:12

Exercice niveau minimum ENS ULM, tu devrais poser ça en question post bac....

Si n = ab avec b = 1 alors a  = n donc ça marche pas
Si n = ab avec b = n alors a = 1 donc ça marche pas


Posté par
malou Webmaster
re : Nombre premier 09-07-19 à 11:28

personnellement quand je lis "un" en gras souligné, pour moi ça veut dire "exactement un"

Posté par Profil Ramanujanre : Nombre premier 09-07-19 à 11:51

@Malou
J'ai mis cette phrase un peu au hasard. Je ne sais pas faire la négation de : "n est un nombre premier".

Posté par
lefou666
re : Nombre premier 09-07-19 à 12:12

Bonjour,

Un nombre qui n'est pas premier est un nombre qui admet au moins un diviseur distinct de 1 et lui-même.

Posté par
lefou666
re : Nombre premier 09-07-19 à 12:22

Un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.
Autrement dit:  un nombre premier est un nombre qui n'admet aucun diviseur autre que 1 et lui-même.
Donc la négation est :
un nombre qui n'est pas premier est un nombre qui admet au moins un diviseur distinct de 1 et lui-même.

La négation de" aucun" est : "au moins un".

Posté par Profil Ramanujanre : Nombre premier 09-07-19 à 12:39

lefou666 @ 09-07-2019 à 12:22

Un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.
Autrement dit:  un nombre premier est un nombre qui n'admet aucun diviseur autre que 1 et lui-même.
Donc la négation est :
un nombre qui n'est pas premier est un nombre qui admet au moins un diviseur distinct de 1 et lui-même.

La négation de" aucun" est : "au moins un".


Merci.

Du coup il existe a \in [|2,n-1|] tel que :

n=a \times b

Et la remarque de Lionel permet de conclure que b aussi est strictement compris entre 1 et n.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombre premier 09-07-19 à 18:19

Bonjour,
Attention, l'entier 1 n'est pas premier

Quand on parle de diviseurs, ce sont des entiers naturels.
A partir de ceci :
"Un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même."
Un nombre qui n'est pas premier est un nombre dont le nombre de diviseurs n'est pas 2.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombre premier 09-07-19 à 18:34

Pour moi, la définition est celle-ci :
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement 2 diviseurs.
Puis une propriété :
Les 2 diviseurs d'un nombre premier sont 1 et lui-même.

Posté par
carpediem
re : Nombre premier 09-07-19 à 19:46

ouais enfin ... ta propriété est vérifiée par tous les entiers ...

par contre ta définition distingue bien un premier d'un non premier ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombre premier 09-07-19 à 19:54

Ce qui est vrai pour tout entier n de :
Les entiers 1 et n divisent n .

J'essaye d'écrire mieux la propriété :
Un nombre premier a 2 diviseurs distincts. Ces 2 diviseurs sont 1 et lui-même.

Ce qui pose problème, c'est d'introduire une propriété dans une définition.
La définition, c'est le nombre de diviseurs est 2. Point barre.

Elle est récente. Il fut une époque où l'entier 1 était premier

Posté par Profil Ramanujanre : Nombre premier 09-07-19 à 19:55

Sylvieg @ 09-07-2019 à 18:19

Bonjour,
Attention, l'entier  1  n'est pas premier  

Quand on parle de diviseurs, ce sont des entiers naturels.
A partir de ceci :
"Un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même."
Un nombre qui n'est pas premier est un nombre dont le nombre de diviseurs n'est pas 2.


Mais comment vous traduisez le fait que le nombre de diviseurs n'est pas 2 ?

Posté par
carpediem
re : Nombre premier 09-07-19 à 20:18

Ramanujan @ 09-07-2019 à 19:55

Mais comment vous traduisez le fait que le nombre de diviseurs n'est pas 2 ?
ben il est au moins trois ... MDR

Sylvieg @ 09-07-2019 à 19:54

Ce qui est vrai pour tout  entier  n  de    :  
Les entiers  1  et  n  divisent  n .  (*)

J'essaye d'écrire mieux la propriété :
Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts. Ces 2 diviseurs sont  1  et  lui-même. donc évident et inutile d'après (*)

Ce qui pose problème, c'est d'introduire une propriété dans une définition. inutile d'après (*) et bleu
La définition, c'est le nombre de diviseurs est 2. Point barre. tout à fait d'accord

Elle est récente. Il fut une époque où l'entier  1  était premier     je n'ai pas connu cette époque ... désolé !!!

Posté par
Jezebeth
re : Nombre premier 09-07-19 à 21:38

Tout ce qui vous écrivez depuis le début mérite la correction de langage suivante : il est question de diviseurs positifs, et non pas de diviseurs. (Le seul nombre qui admet exactement deux diviseurs est 1...)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombre premier 09-07-19 à 21:46

Moi non plus je n'ai pas connu cette époque malgré mon grand âge !
J'en ai trouvé une trace dans

"Autrefois certains mathématiciens, grâce à une définition légèrement différente de nombre premier, considéraient que 1 en était un. Mais au début du 20e siècle, un consensus a abouti à la définition donnée ici, qui exclut 1 des nombres premiers1."

Et au passage, une définition précise :
"Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs."

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombre premier 09-07-19 à 21:51

Je réponds à "comment vous traduisez le fait que le nombre de diviseurs n'est pas 2 ? " :
Le nombre de diviseurs est différent de 2 .
Mais ce n'est pas "ben il est au moins trois ".

Comment traduirait-on "le nombre de doigts de sa main droite n'est pas 5 " ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombre premier 09-07-19 à 22:20

Bonsoir Jezebeth,
Je suis d'accord et j'ai été trop discrète sur ce sujet à 18h19

Citation :
Quand on parle de diviseurs, ce sont des entiers naturels.

C'est pour la même raison que j'ai redonné une définition à 21h46, sans avoir vu ton message.

Posté par
carpediem
re : Nombre premier 09-07-19 à 23:09

Sylvieg @ 09-07-2019 à 21:51

Je réponds à "comment vous traduisez le fait que le nombre de diviseurs n'est pas 2 ? " :
Le nombre de diviseurs est différent de  2  .
Mais ce n'est pas "ben il est au moins trois ". effectivement je ne tiens pas compte de 1 ...
et hormis 1 tout nombre non premier possède au moins trois diviseurs ...

et  merci pour le lien ... mais j'aimerais bien connaitre cette ancienne définition qui faisait de 1 un nombre premier

Jezebeth : positifs est évidemment sous-entendu ... mais il est bien de le dire  ... au moins une fois ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombre premier 10-07-19 à 18:42

Bonjour
il me semble que quand j'étais au collège (première moitié des années 70), on appelait "premier" tout entier naturel dont la seule décomposition en produit d'entiers naturels était 1 fois lui-même, ce qui faisait de 1 = 1 fois 1 un nombre premier. ce n'est qu'en fin de collège ? seconde ? plus tard ? qu'on nous a dit que 1 n'était pas premier et qu'on a eu la définition rappelée plus haut dans ce fil

Posté par
carpediem
re : Nombre premier 10-07-19 à 20:25

ok merci lafol

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombre premier 11-07-19 à 08:42

Je reviens sur ce message qui m'avait fait réagir en alertant sur 1 qui n'est pas premier :

lefou666 @ 09-07-2019 à 12:22

Un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.
Autrement dit: un nombre premier est un nombre qui n'admet aucun diviseur autre que 1 et lui-même.
Donc la négation est :
un nombre qui n'est pas premier est un nombre qui admet au moins un diviseur distinct de 1 et lui-même.

La négation de" aucun" est : "au moins un".

Le "autrement dit" y est faux. Mais ce qui le suit est intéressant :
C'est à mon avis la vieille définition qui met l'entier 1 dans les nombres premiers.
Elle est équivalente à celle de l'enfance de lafol.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombre premier 15-07-19 à 16:40

Bonjour,
Je me suis souvenue que j'avais conservé mon formulaire de math élem. Il a été édité en 1963.
Je m'en sers de temps à autres pour les formules d'aires et de volumes.
Voici sa définition pour les nombres premiers :

Nombre premier

Posté par
PLSVU
re : Nombre premier 15-07-19 à 17:47

Bonjour,
"

Citation :
Autrefois certains mathématiciens, grâce à une définition légèrement différente de nombre premier, considéraient que 1 en était un. Mais au début du 20e siècle, un consensus a abouti à la définition donnée ici, qui exclut 1 des nombres premiers1."

En 1959 ,1 est  encore un nombre premier
Dans mon  livre d'arithmétique de  math elem  de V. Lespinard et Pernet edition 1959  ,
on pouvait lire ceci:

Nombre premier

Posté par
carpediem
re : Nombre premier 15-07-19 à 19:07

merci les vi....

vous êtes la mémoire du présent ...

car présentement les je... n'en ont plus ...



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