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Posté par
Vantin 14-12-22 à 20:41

Bonjour j'aurais besoin d'aide pour un exercice.

Montrer que \sqrt{-3} est premier mais que 1+\sqrt{-3} ne l'est pas dans \Z[{\sqrt{-3}]

Pour rappel on dit qu'un nombre p est premier lorsque:
p\ne 0, p \ne \Z[{\sqrt{-3}]^\times, p | ab \Rightarrow p|a \lor p|b
Autrement dit p est premier \Leftrightarrow (p)\mbox{ est idéal premier }
\Z[{\sqrt{-3}] / (\sqrt{-3}) \mbox{ est un anneau intègre } \Leftrightarrow (\sqrt{-3}) \mbox{ est un idéal premier }

Et clairement \Z[{\sqrt{-3}] / (\sqrt{-3})  \cong \Z qui n'a aucun diviseur de 0 et n'est pas l'anneau nul donc \sqrt{-3} est premier dans \Z[{\sqrt{-3}]

Pour le deuxième, je bloque un peu plus:
\Z[\sqrt{-3}]/(1+\sqrt{-3}) \cong \Z/4\Z
Je pense que cet isomorphisme est vrai mais je ne sais pas comment le prouver, je l'ai observé en réalisant quelques divisions.
L'idée ça serait de trouver une map mais je ne sais pas trop comment procéder
\begin{array}{ccccc} \\ f & : & \Z[\sqrt{-3}]/(1+\sqrt{-3}) & \to & \Z/4\Z \\ \\ & & a+b\sqrt{-3} + (1+\sqrt{-3}) ( & \mapsto & ? \\ \\ \end{array}

La construction doit partir du fait quef(1)=1 mais je ne vois pas trop que faire ensuite

Posté par
GBZMre : Nombre premier 14-12-22 à 22:13

Bonsoir,

Commence par envoyer \mathbb Z[\sqrt{-3}]=\mathbb Z[X](X^2+3) dans \mathbb Z/4\mathbb Z, en t'arrangeant pour que 1+\sqrt 3 soit dans le noyau.

Posté par
GBZMre : Nombre premier 14-12-22 à 22:14

1+\sqrt{-3}, pardon.

Posté par
Vantinre : Nombre premier 15-12-22 à 16:35

Ok j'avoue ne pas trop avoir compris ton idée mais ça m'en a donné une autre (surement très similaire à la tienne)

En fait les conditions qu'on veut c'est f(1)=1 mais aussi f(1+\sqrt{-3})=0  pour pouvoir appliquer le 1er théorème d'isomorphisme

Donc par exemple
\begin{array}{ccccc} \\ f & : & \Z[\sqrt{-3}]/(1+\sqrt{-3} )& \to &\Z/4\Z \\ \\ & & \widehat{a+b\sqrt{-3}} & \mapsto& f((\widehat{a+b\sqrt{-3}})=\overline{a+3b } \\ \end{array}
On vérifie facilement que f(a+b)=f(a)+f(b) et f(ab)=f(a)f(b), c'est un morphisme d'anneau
Ou on montre que f surjective et ker(f)=(1+\sqrt{-3}), c'est un isomorphisme.

mais j'ai quand même l'impression que je me suis compliqué la vie

Posté par
GBZMre : Nombre premier 15-12-22 à 17:21

Envoyer \mathbb Z[X]/(X^2+3) (l'oubli de la barre du quotient t'a troublé ?) dans \mathbb Z/4\mathbb Z, c'est trouver un élément de \mathbb Z/4\mathbb Z dont le carré vaut (la classe de) -3. Ça peut être 1 ou 3, si on choisit 3 alors la classe de 1+X, c.-à-d. 1+\sqrt{-3}, est bien dans le noyau.
Ça ne montre pas tout à fait que le noyau est l'idéal engendré par 1+\sqrt{-3}.
On peut s'en sortir aussi en remarquant que
\mathbb Z[\sqrt{ -3}]/(1+\sqrt{-3}) est isomorphe à  (\mathbb Z[X]/(X^2+3))/(X+1)= (\mathbb Z[X]/(X+1))/(X^2+3)=\mathbb Z/4\mathbb Z

Posté par
Vantinre : Nombre premier 15-12-22 à 19:47

Désolé je n'ai pas compris les deux premières lignes de ta réponse. Peut être que c'est parce que je suis pas à l'aise avec tous ces quotients.

Je vais essayer de clarifier:
(aX+b+I)(cX+d+I)=acX^2+(ad+bc)X+bd+I=(ad+bc)X+bd-3ac+I
                                


\Z[X]/(X^2+3) = \{\alpha X+\beta | \alpha,\beta \in \Z \wedge X^2=-3\} \cong \{a+b\sqrt{-3}, a,b\in \Z\}=\Z[\sqrt{-3}]
L'isomorphisme est claire, il suffit d'envoyer P(x) en P(\sqrt{-3})

Maintenant tu me demandes d'envoyer \Z[X]/(X^2+3)  dans \Z/4\Z tel que f(1+X)=0 \Leftrightarrow -f(1) = f(X) \Rightarrow 1 =f(X)^2 \Rightarrow f(X)=1 \mbox{ ou } 3  

On a (1+\sqrt{-3}) \subset Ker(f)

Maintenant c'est la dernière ligne (notamment la dernière égalité que je ne comprends pas)

Posté par
Vantinre : Nombre premier 15-12-22 à 19:48

D'ailleurs si on aurait utiliser la première définition que j'ai donné et la norme, on peut remarquer que
N(1+ \sqrt{-3}) = 4   \\ 4 | 36 = 9*4 = 6*6
4 ne divise pas 6 donc 4 n'est pas premier.
Problème aucun élément d'ordre 6.
Même problème en remarquant que 4 | 10*10 .D'ailleurs si on aurait utiliser la première définition que j'ai donné et la norme, on peut remarquer que
N(1+ \sqrt{-3}) = 4   \\ 4 | 36 = 9*4 = 6*6
4 ne divise pas 6 donc 4 n'est pas premier.
Problème aucun élément d'ordre 6.
Même problème en remarquant que 4 | 10*10 .

Posté par
Vantinre : Nombre premier 15-12-22 à 19:50

Désolé mon message s'est envoyé alors que je voulais avoir un apperçu, je voulais écrire que je cherchais un contre exemple en utilisant l'autre définition mais je ne voyais pas comment m'y prendre pour trouver deux éléments ab tel que 4 |ab mais ni 4 | a ni 4|b. J'y suis allé en tatonnant mais je ne trouve pas de contre exemple, une idée?

Posté par
Vantinre : Nombre premier 15-12-22 à 22:25

Ok j'ai compris le pourquoi du comment de la dernière égalité !

Posté par
GBZMre : Nombre premier 16-12-22 à 09:30

Je ne comprends rien à ton histoire de norme. Peux-tu expliquer mieux ?
Une autre façon de faire (où on retrouve la norme) aurait été de remarquer que (1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})=4=2\times 2 mais que 1+\sqrt{-3} ne divise pas 2.

Posté par
Vantinre : Nombre premier 16-12-22 à 15:39

Oui bien sur. prenons un exemple
On se place dans \Z[\sqrt{-5}] et on veut prouver que 3 n'est pas premier
3 divise 6=(1+sqrt{-5})(1-sqrt{-5})
Donc 9 | N((1+sqrt{-5})N(1-sqrt{-5})
Mais N((1+sqrt{-5})=N(1-sqrt{-5})=6
Donc N(3) ne divise ni N((1+sqrt{-5}) ni N(1-sqrt{-5}) car 9 ne divise pas 6.
On a trouvé un contre exemple, 3 n'est pas premier

J'aurais voulu trouver un même raisonnement pour 1+sqrt{-3} mais il me semble que ce n'est pas possible.
Oui le raisonnement de ton dernier message est le premier auquel j'ai pensé !

Posté par
GBZMre : Nombre premier 16-12-22 à 16:33

Là je comprends (bien que ce soit assez mal rédigé) : 3 divise (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})=6, par contre 3 ne divise ni 1+\sqrt{-5} ni 1-\sqrt {-5} car N(3)=9 ne divise pas N(1+\sqrt{-5})=N(1-\sqrt{-5})=6.
Par contre j'avais bien raison de ne pas comprendre ton message du  15-12-22 à 19:48 parce que ce que tu y écris ne va pas.
Pour le raisonnement que j'ai fait dans mon dernier message, le fait que 1+\sqrt{-3} ne divise pas 2 ne se voit pas sur la norme car tous deux sont de norme 4. Mais comme ils ont même norme, ils seraient associés si l'un divisait l'autre, ce qui ne se peut pas car les seuls inversibles de \mathbb Z[\sqrt{-3}]  sont \pm1.

Posté par
Vantinre : Nombre premier 17-12-22 à 00:36

Tout à fait, merci GBZM!

Posté par
GBZMre : Nombre premier 17-12-22 à 08:34

Avec plaisir.


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