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Niveau maths sup
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Nombre réel

Posté par
Mathes1
05-12-21 à 22:28

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
•Soient an et bn dans avec bn > 0 et
1 ≤ n ≤ p.
(a) Soient m = inf1≤n≤p an et M = sup1≤n≤p an. Montrer que
m\leq \dfrac{\sum_{n=1}^{p}{a_n b_n}}{\sum_{n=1}^{p}{b_n}}\leq M
b) montrer que
inf _{1\leq n\leq p}\left( \dfrac{a_n}{b_n} \right)\leq \dfrac{\sum_{n=1}^{p}{a_n }}{\sum_{n=1}^{p}{ b_n}}\leq sup _{1\leq n\leq p} \left( \dfrac{a_n}{b_n}\right)
mes réponses
a) on a m = inf1≤n≤p an et M = sup1≤n≤p an.
Donc >0 1≤n≤p tel que n≤m+
Et >0 1≤n≤p tel que M-<n
Sinon je ne comprends pas une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
Je ne sais pas comment faire

Posté par
Zormuche
re : Nombre réel 05-12-21 à 22:35

Bonjour

Il suffit d'utiliser l'inégalité  m\le a_n \le M  pour tout n et l'injecter dans l'expression

Pour la deuxième question, c'est la même que la première, appliquée à deux suites bien choisies

Posté par
Mathes1
re : Nombre réel 05-12-21 à 22:53

Merci beaucoup à vous j'ai trouvé
On a :m\leq a_n\leq M <=> mb_n\leq a_n b_n\leq M b_n( {\text{car}b_n>0 })<=> m\sum_{n=1}^{p}{b_n}\leq \sum_{n=1}^{p}{a_nb_n}\leq M\sum_{n=1}^{p}{b_n}
<=>m\leq \dfrac{\sum_{n=1}^{p}{a_nb_n}}{\sum_{n=1}^{p}{b_n}}\leq M
b)  je ne comprends pas bien  une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
Zormuche
re : Nombre réel 06-12-21 à 00:54

L'inégalité en b) ressemble beaucoup à celle en a)

sauf qu'on te parle de inf/sup des  \dfrac{a_n}{b_n}  à la place des inf/sup de  a_n

Posté par
Mathes1
re : Nombre réel 06-12-21 à 11:25

Bonjour
D'accord merci beaucoup
On a m\leq \dfrac{\sum_{n=1}^{p}{a_nb_n}}{\sum_{n=1}^{p}{b_n}}\leq M
Donc
inf1≤n≤p an \leq \dfrac{\sum_{n=1}^{p}{a_nb_n}}{\sum_{n=1}^{p}{b_n}}\leq sup1≤n≤p an
D'ou
inf_{1\leq n\leq p }\left( \dfrac{a_n}{b_n} \right)\leq \dfrac{\sum_{n=1}^{p}{a_nb_n×\dfrac{1}{b_n}}}{\sum_{n=1}^{p}{b_n}}\leq sup_{1\leq n\leq p}\left(\dfrac{a_n}{b_n} \right)

Posté par
Mathes1
re : Nombre réel 06-12-21 à 17:16

Bonjour
Est ce que c'est juste ?
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1
re : Nombre réel 06-12-21 à 21:59


Merci beaucoup

Posté par
Zormuche
re : Nombre réel 06-12-21 à 23:33

C'est pas vraiment ça, mais tu as l'idée

Il faut appliquer la propriété aux suites (finies)   \left(\dfrac{a_n}{b_n}\right)_{1\le n\le p}  et  (b_n)_{1\le n \le p}

Il semble que tu as voulu l'appliquer aux suites  (a_nb_n)_{\1\le n \le p}  et  \left(\dfrac{1}{b_n}\right)_{1\le n \le p} , mais ça ne marche pas, car tu aurais du  \inf_{1\le n \le p} a_nb_n

Posté par
Mathes1
re : Nombre réel 06-12-21 à 23:50

D'accord merci mais comment faire s'il vous plaît une petite indications , je ne vois pas vraiment comment faire

Posté par
Zormuche
re : Nombre réel 07-12-21 à 00:17

Je t'ai tout dit :

Remplace a_n et b_n dans la première formule par (a_n/b_n) et b_n (donc en fait le b_n bouge pas, c'est juste le a_n qui change)

Posté par
Mathes1
re : Nombre réel 07-12-21 à 12:23

Bonjour
D'accord merci beaucoup
Donc :
inf1≤n≤p an \leq \dfrac{\sum_{n=1}^{p}{a_nb_n}}{\sum_{n=1}^{p}{b_n}}\leq sup1≤n≤p an

inf1≤n≤p \left(\dfrac{a_n}{b_n} \right)
\leq \dfrac{\sum_{n=1}^{p}{a_n}}{\sum_{n=1}^{p}{b_n}}\leq sup1≤n≤p \left(\dfrac{a_n}{b_n} \right)
J'ai remplacer a_n par a_n/b_n seulement



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