Bonsoir

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Je ne sais pas continuer

Bonjour

On a déjà

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n=0 -> imaginaire
n=3 -> réel

En fait en reprenant la méthode de Zormuche mais en s'intéressant au module du produit , on est amené à chercher   entier .

Imod

Bonjour,
J'ai demandé à ChatGPT.
Sa réponse:

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Le chat péteur nous fera toujours rire
Imod

Je ne comprends pas trop :
pour n=3 : réel
pour n=4 qui est bien congru à 0 mod 4 qui n'est pas imaginaire.

Où est mon problème ?

Tu n'as pas de problème.
J'ai reformulé la question ainsi:
Pour quelles valeurs de n, le produit i(i+1)(i+2)...(i+n) est-il imaginaire pur?
Au lieu de "même question..."
Le résultat est que la seule valeur est n=0

La réponse en détail:

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Notons on suppose n entier .
On cherche les n tels que soit imaginaire pur c.-à-d. .

1. Remarquons la formule gamma

  
   et la décomposition en module et argument

   [

   Donc l'argument de vaut

  

   est imaginaire pur , autrement dit
  

   .
  

2. Pour n=0 on a , qui est bien imaginaire pur.

3. Pour la somme est strictement positive. Si était congrue à 0 modulo il faudrait donc avoir pour un entier . Or les sont des angles strictement décroissants et non commensurables de façon à donner exactement un multiple entier de pour une somme finie : en pratique (et on peut vérifier algébriquement en regardant les parties réelles et imaginaires entières de _{P_n} comme produit dans il n'existe aucun tel que soit exactement un multiple entier de . Un contrôle numérique direct (calcul exact dans les entiers de Gauss pour les parties réelle et imaginaire) montre qu'on n'obtient que pour n=0 (on trouve … et aucun zéro pour ; de plus une argumentation par divisibilité dans conduit à une contradiction si l'on suppose l'existence d'un tel que \.

Conclusion : la seule valeur entière pour laquelle est imaginaire pur estc.-à-d. le produit réduit à i.

Bonjour Sanantonio312

Une très longue explication qui nécessite pas mal de prérequis et qui fait l'impasse sur des détails importants .

Clairement le produit est un entier de Gauss mais pourquoi sa partie réelle ou imaginaire ne peut-elle pas être nulle quand n est différent de 3 ?

Il suffirait d'expliquer pourquoi (1+1)(4+1)(9+1)...(n²+1) n'est jamais un carré parfait quand n>3 .

Imod

Bonsoir

une réponse partielle

En notant on a


et ce qui montre que .


On en déduit que n'est pas un carré parfait pour _{sauf erreur de ma part bien entendu}

J'ai un peu de mal à comprendre les différents produits mais je suis d'accord avec le résultat . Une autre façon de voir les choses  , si k est pair alors k²+1 est impair et si k est impair alors k²+1 est divisible par 2 mais pas par 4 . Si on considère le produit des n premiers facteurs k²+1 avec n = 1 , 5 , 9 , … alors on a 1 , 3 , 5, … facteurs 2 donc le produit n'est pas un carré . Comme le facteur suivant est impair , si on l'ajoute à la liste , on ne change pas le nombre de facteurs 2 et on n'a toujours pas un carré .
Imod

En fait c'est tout bête , si n>3 , on considère p le plus grand nombre premier figurant dans la décomposition de , alors d'après le postulat de Bertrand , 2p est supérieur à n²+1 donc le facteur p n'apparait qu'une fois dans et celui-ci ne peut pas être un carré .
Imod  

Non en fait ce n'est pas aussi simple , 13 le plus grand facteur premier de   apparait avec un exposant 2
Imod

Ce n'est tours pas ça car 37 est le plus grand facteur premier de mais l'argument que j'ai utilisé dans le message du 08/10/2025 ne marche pas .
Imod

Le problème n'attire pas vraiment les foules mais il m'arrive de plus en plus souvent de monologuer , les échanges sont parfois intéressants ( uniquement pour moi ) . Comme je ne sais toujours pas où classer le problème , j'ai calculé les composantes réelles et imaginaires des premiers éléments de la suite . Forcément au début , on se promène sans cap mais très vite les composantes se dirigent vers un angle de 45° par rapport aux axes ce qui laisse hors d'atteinte les réels et les imaginaires purs . C'est vraisemblablement un problème d'analyse .
Imod        

Le problème a trouvé une solution sur , il n'y a rien de vraiment simple dans tout ça
Imod