Bonjour,
pour la 1ere, je ne sais pas.
Pour la seconde, c'est pas trivial, la méthode la plus simple, est de considérer Q[a,b] et de voir que si x est algébrique, tous les éléments de Q[x] le sont.

moui ca me di pa gd chose...

Bein que connais tu alors sur les nombres algébriques?

Ben je connais quelques trucs,vu que c mon tipe en sup. Mais je ne sai pa ce qu'est "une extension de Q de degre fini" par exemple,ou "le corps engendre par Q et a (a algebrique)" et g donc du mal a comprendre, par exemple la demo du fait que l'ensemble des nombres algeriques est un corps...

D'après moi, si c'est ton TIPE, tu devrais maitriser un minimum le sujet. Je ne sais pas combien de temps il te reste avant ta présentation, mais d'ici là, pour maitriser le sujet, je te conseille de lire un cours qui en parle. (licence ou maitrise) en retenant les idées principales.

Je te soumet vite fait les idées:

On a un corps k commutatif (ici je vais prendre k=Q, mais pour ton TIPE, suivant ce que tu étudies, ca peut être vraiment très très intéressant de choisir autre chose que Q).

On prend un élément f de k[X] et a une racine de f.

On construit l'ensemble k[a] comme étant le plus petit corps contenant k et contenant a, et on peut trivialement montrer que c'est exactement l'ensemble des
c0+c1a+c2a^2+..+cna^n ou deg(f)=n+1 et les ci sont tous dans k.

On peut montrer ainsi que k[a] possède une définition beaucoup plus propre qui ne dépend pas de f, et ainsi n est un nombre unique, que l'on appelle degré de l'extension, noté (k[a]:k) et qui est la dimension de k[a] en tant que k-ev.

De là, on peut maintenant construire l'extension k[a,b] comme le plus petit corps contenant k, a et b, notamment comme extension de
k[a] ou k[ b ].
Dans le premier cas, k[a,b] est le plus petit corps contenant k[a] et b.
Dans le second cas, k[a,b] est le plus petit corps contenant k[ b ] et a.
On voit bien que l'on a la même chose.
Maintenant, si un élément est dans k[a] alors il est lui même algébrique. (exercice)
Si on considère k[a,b], alors c'est un corps qui contient a et b, donc en particulier a+b, ab et 1/a et 1/b.

En particulier pour montrer que l'ensemble A des nombres algébriques est un corps, il suffit de montrer que pour tout a et b dans A, a+b est dans A, ab aussi et a^-1 ainsi que -a. (ce qui montre que A est un sous corps de C). Notamment il suffit de considérer le corps k[a,b] ce qui prouve le résultat d'après ce qui est dit plus haut. (pour chacun des a et b, donc il y'a une infinité de tels corps).

Note que, si a et b sont algébriques, alors
(k[a,b]:k)=(k[a,b]:k[a])(k[a]:k)=(k[a,b]:k)(k[b]:k).(démonstration évidente)
De plus, il existe un unique polynôme f_a unitaire de k[X] tel que
f_a(a)=0 et deg(f_a)=(k[a],k), on l'appelle le polynôme minimal de a.
(démonstration: considérer l'idéal de k[X] engendré par les polynômes qui annulent a)

Je pense que c'est un bon début pour ton travail.
Bonne chance.
A+[/b][/b]

Premièrement je ne sais pas pourquoi la fin de mon texte est en gras.
Deuxièmement, il y'a une coquille:


(k[a,b]:k)=(k[a,b]:k[a])(k[a]:k)=(k[a,b]:k)(k:k). est faux mais plutôt

(k[a,b]:k)=(k[a,b]:k[a])(k[a]:k)=(k[a,b]:k[b ])(k[b ]:k).comme on pouvait s'en douter, par analogie avec la première égalité, a et b jouant des rôles symétriques...


a+[/b]

Je ne sais toujours pas pourquoi je suis en gras, mais je vais te donner un exemple pour que tu comprennes bien ce que je dis:

Si je considère f(X)=x^2-2, alors en nota V(2) la racine de 2, on a que L=Q(V(2)).
Il apparait clairement que v(2) n'
est pas dans Q et donc que K contient strictement Q.
De plus il est clair que f est irreductible, ce qui conduit au fait que deg(f)=(L:Q)=2

Notamment tout élément de L s'écrit a+bV(2).
Je prend x dans L, il s'écrit donc
u=a+bV(2)

Si je considère (u-a)^2=2b^2
or b et donc b^2 est dans Q donc 2b^2 aussi.
Je pose g(x)=x^2-2ax+b^2-2b^2=(x-a)^2-2b^2, il est clair que g est dans Q[X] et que g annule bien u.
Notamment, on en déduit que u est algébrique.


Un autre exemple, si je prend j pour la racine cubique de 2.
Le polynôme minimal de j est x^3-2.
Tout élément de L=k[j] s'écrit
u=a+bj+cj^2

je prend (u-a)=bj+cj^2
J'élève au cube:
(u-a)^3=(bj+cj^2)^3
=b^3j^3+3b^2cj^4+3bc^2j^5+c^3j^6
Mais j^3=2 (par définition)
donc
(u-a)^3=(bj+cj^2)^3
=2b^3+6b^2cj+6bc^2j^2+4c^3

maintenant calculons
(u-a)^2=(bj+cj^2)^2
=b^2j^2+2bcj^3+c^2j^4
=b^2j^2+4bc+2c^2j

(u-a)=bj+cj^2

Question:
existe il 4 rationnels P,Q,R,S tels que

P(u-a)^3+Q(u-a)^2+R(u-a)+S=0 ?
(indication: quelle est la dimension de L en tant que K-ev, et qu'est ce que ca implique donc?)

Existe il un polynôme G tel que G(u)=0 et à coefficients dans K?.
Indication:
Que penser de
G(X)=P(X-a)^3+Q(X-a)^2+R(X-a)+S

Conclusion: u est il algébrique?

Pour le cas général, si tu as compris ces deux exemples (on voit mieux ce qui se passe dans le deuxième je pense) alors tu sais montrer que tout élément de k[a] est algébrique si a l'est. De là tu sais répondre au fait que l'ensemble des algébriques est un corps.

Bonne chance,
A+


édit Océane : balise gras rectifiée

Note que le détails des calculs de (u-a)^n ne compte pas, sauf si tu essaies en gros bourrin d'expliciter G.
Ce qui compte, c'est le fait que ((u-a)^n) pour n de 0 à 3 soit une famille l.....?

Merci bcp otto de ttes ces infos, je v devoir my atteler assez rapidement. J'ai a peu pres tou compris, mis a part la notation "(L:Q)".
En tout cas cette aide va m etre tres precieuse, car les demos que j'ai loccasion de lire utilise ces notations sans les expliquer. Ne tinquiete pas, g encore du tps avant mon tipe et j'ai les 2 prochaines semaines de vacs pr men occuper, et si j'ai besoin dautres infos je les demanderai ici,car tu ma lair tres averti sur le sujet.
Merci encore pour tout.

au fait, je cherche tjs un logiciel pr ecrire les maths, et il me semble que bcp dentre vous en ont, puisque vous lutilisez sur ce site. Renseignez moi svp!! merci davance.

Un modérateur pourrait passer pour fermer la balise de gras

Merci bien