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nombres complexes
on considère les points M(n) d'affixe Zn=((1/2)i^n(1+i racine(3)) avec n naturel entier
1. exprimer Z(n+1) en fonction de Zn, puis Zn en fonction de Z(0) et n. donnez Z(0), Z(1), Z(2); Z(3) Z(4) sous forme algébrique et trigo.
2. Placez les points sur le plan
3. determinez la distance OM(n) en fonction de n.
Jusque là j'y arrive, je trouve OM(n)=2x(1/2)^n
mais ensuite je suis bloqué :
4.demontrer que M(n)M(n+1) = (racine(5))/(2^n) pour tout entier naturel n
5. on pose Ln = 
M(k)M(k+1)
k=0
determiner Ln en fonction de n, puis la limite de Ln
merci a vous de m'aider
ok pour OM(n).
4. M(n)M(n+1) = | Z(n+1) - Z(n) |
= |0.5i Z(n) - Z(n) | = | Z(n) (0.5i - 1)|
= |z(n)| x |0.5 i -1 | = RC(5) / (2^n)
5. Ln = SOMME ( M(k)M(k+1))
Ln = M(0)M(1)+M(1)M(2)+....+M(n)M(n+1)
Ln = RC(5)/2^0 + RC(5)/2^1 + ....+ RC(5)/2^n
Ln = RC(5) ( 1/2^0 + 1/2^1 + .... + 1/2^n)
A l'intérieur de la parenthèse on a une suite géométrique de raison 1/2 et de 1er terme 1 donc
Ln = RC(5) ( 1 x (1-(1/2)^(n+1))/(1-(1/2)) )
Ln = RC(5) x 2 x ( 1 - (0.5)^(n+1) )
La limite qd n tend vers + inf égale à 2 Rc(5) car (0.5)^(n+1) tend vers 0 car 0.5 < 1
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