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Nombres complexes

Posté par
Australia 21-09-08 à 12:19

Bonjour tout le monde, j'ai un problème de Maths a résoudre et je ne vois vraiment pas comment le faire.

Le voici :

Montrer que tout complexe z de module 1 et différent de -1 peut s'écrire sous la forme : z = (-x+i) / (x+i) avec x réel.
Montrer que x = tan ( /2) avec      ]- ;   [, un argument de z.

J'ai commencé par écrire :
Soit z=a=+ib, donc |z|= (a²=b²).
Aussi z= (ei /2)2=(cos   /2+i sin( /2))²

Et la je bloque. Merci d'avance !

++

Posté par
jeansebre : Nombres complexes 21-09-08 à 13:22

Bonjour

3$\rm Soit z = e^{i\theta}; posons x = \frac{cos(\theta/2)}{sin(\theta/2)}, ce qui est possible pour tout z \neq -1 et \neq 1; alors x = \frac{e^{i\theta/2}+e^{-i\theta/2}}{e^{i\theta/2}-e^{-i\theta/2}}\times \frac{2i}{2}= i\times\frac{e^{i\theta/2}(e^{i\theta/2}+e^{-i\theta/2})}{e^{i\theta/2}(e^{i\theta/2}-e^{-i\theta/2})}=i\times\frac{e^{i\theta}+1}{e^{i\theta}-1} \\ \\ Alors le calcul de \frac{x+i}{x-i} donne e^{i\theta} = z \\ \\ Sauf erreur. \\ \\ Pour z=1, tu devrais bien trouver x sans probleme...

Posté par
Australiare : Nombres complexes 21-09-08 à 14:00

Merci pour ta réponse aussi rapide, mais je ne comprend pas bien comment tu passes de la deuxième à la troisième étape.

Merci d'avance.

Nombres complexes

Posté par
jeansebre : Nombres complexes 21-09-08 à 14:25

Tu développes simplement la parenthèse au numérateur et au dénominateur.

Posté par
jeansebre : Nombres complexes 21-09-08 à 14:30

En fait, je suis parti de la conclusion: \z =e^{i\theta}=\frac{x+i}{x-i} et j'ai cherché x.

Posté par
jeansebre : Nombres complexes 21-09-08 à 14:32

En fait, je suis parti de la conclusion: \rm z =e^{i\theta}=\frac{x+i}{x-i} et j'ai cherche x.

Posté par
Australiare : Nombres complexes 21-09-08 à 15:21

Oui, je commence à comprendre.

Posté par
jeansebre : Nombres complexes 21-09-08 à 15:22

Ce n'est pas clair?


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