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Nombres complexes

Posté par
MaXy
13-07-09 à 12:54

Bonjour à toutes et à tous,

Pour mon examen d'août, j'ai commencé à refaire des exercices, mais je n'arrive pas à résoudre celui-ci

Déterminez la ou les solutions de :
   z6+8i = 0 vérifiant |z-1+i| < 1,5


Pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance et bonne journée

MaxYme

Posté par
blang
re : Nombres complexes 13-07-09 à 14:07

Bonjour

Les solutions de l'équation 3$ z^6+8i=0 sont celles de l'équation 3$ z^6=\sqrt{2}^6 e^{-i\frac{\pi}{2}}, c'est-à-dire les 3$ z_k=\sqrt2 e^{-i\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{3}} pour k=0,1,2,3,4 ou 5.
|z_k-1+i|=\sqrt2 \left|e^{-i\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{3}}-e^{-i\frac{\pi}{4}} \right|=sqrt2 \left|e^{i\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3}}-1 \right| etc.

Posté par
MaXy
re : Nombres complexes 13-07-09 à 23:24

Bonjour,

Je suis désolé mais je ne comprends toujours pas ce que je doit faire ...
Je trouve effectivement les racines de la 1 er équation complexe, mais je ne sais pas ce que je dois faire avec la seconde ...

Pouvez-vous dévelloper un petit peu ?

Merci

MaxYme

Posté par
blang
re : Nombres complexes 14-07-09 à 08:55

Ben, il ne reste plus qu'à choisir parmi les valeurs k de l'ensemble {0;1;2;3;4;5}, celles qui font que 3$ \sqrt{2} \left|e^{i \frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3}}-1\right|<1,5...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Nombres complexes 14-07-09 à 11:17

On trouve les solutions de Z^6 + 8i = 0 comme blang la indiqué.

et ensuite, on peut soit:

a) les traiter par calcul une par une pour voir si elles conviennent à |z-1+i| < 1,5

Je le fais pour une :

cas k = 0:
Z = V2.e^(-i.Pi/12)

Z = V2.cos(-Pi/12) + i.V2.sin(-Pi/12)
Z-1+i = (V2.cos(-Pi/12) - 1) + i.(1 + V2.sin(-Pi/12))

|Z-1+i|² = (V2.cos(-Pi/12) - 1)² + (1 + V2.sin(-Pi/12))²

|Z-1+i|² = 2.cos²(-Pi/12) + 1 - 2V2.cos(-Pi/12)  + 1 + 2.sin²(-Pi/12) + 2V2.sin(-Pi/12)

|Z-1+i|² = 2.(cos²(-Pi/12) + sin²(-Pi/12)) + 2 - 2V2.cos(-Pi/12) + 2V2.sin(-Pi/12)

|Z-1+i|² = 4 + 2V2.(sin(-Pi/12)-cos(-Pi/12)) = 0,53599...

|Z-1+i| = 0,732...

Et donc on a |z-1+i| < 1,5 pour la solution z = V2.e^(-i.Pi/12)

Et on recommence pour les autres solutions de l'équation...

b) Soit :

On peut aussi faire une approche graphique (voir dessin à la fin), on repère dans le plan complexe les racines de l'équation (z0 à z5 (pour k = 0 ... 5))

On "décale" graphiquement ces solutions d'un vecteur (-1 + i), on obtient ainsi les points A, B, ... F

Et on mesure les distances OA, OB ... OF qui correspondent à |Z0 - i + 1|, |Z1 - i + 1|, ... , |Z5 - i + 1|

On conclut alors directement que seules les valeurs k = 0 et k = 5 peuvent convenir.

Et donc ...

Nombres complexes
-----

Sauf distraction (Vérifie).  

Posté par
MaXy
re : Nombres complexes 14-07-09 à 11:26

Merci pour vos réponses, je comprends mieux ce qu'il fallait faire maintenant, ... Je vais essayer de le refaire seul et avancer dans mes exercices.

Encore un grand merci blang et J-P

Bonne journée

maxYme

Posté par
MatheuxMatou
re : Nombres complexes 14-07-09 à 23:06

Bonsoir,

Petit complément à ce que dit JP : les racines de la première équation sont aux sommets d'un hexagone régulier centré sur O et dont l'un des sommet est une des racines sixièmes de (-8i)... par exemple le Z0 de JP.

Quant à le seconde inéquation, l'ensemble des points d'affixe z la vérifiant est tout simplement le disque de centre le point (-1;1) et de rayon 1,5.

Il suffit donc de tracer ce disque et de prendre les racines Zi qui sont dedans...

MM



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