bonjour voici un exercice qui est difficile auquel j'ai repondu
a qlqs questions.

A et B deux points afixes distincts du pla d'affixes respectives
za et zb  et a et b deux réels donnés.
1)a)M etant un point quelconque du plan d'affixe z , a quelle condition
sur a et b le barycentre M' des points ponderes (A,a) (B,b)
(M,1) est il defini?

j'ai dit qu'il faut que a+b+1 soit different de 0 d'ou a+b different
de -1
b)Dans la suite de l'exercice on suppose que cet condition est respectée.Exprimer
l'affixe z' de M' en fonction de z, a ,b, za zb.

en partant de           M'M+aMA+bM'B=0      (tout est en vecteur)

et en introduisant par Chasles le point  O
j'arrive à ca  :OM'=(a*OA+b*OB+OM)/(1+a+b)
               d'ou   z'=(a*za+b*zb+z)/(1+a+b)  
2)On suppose a+b=0     par quelle application M' est il l'image
de M.
Comme on a : a+b=0 ca donne z'=a za-a zb+z=a(za-zb)+z      
          c une translation de a(za-zb)
3) )Montrer que M et M' sont confondus si et seulement si M est
le barycentre
de (A,a) et (B,b) On suppose que a+b est different de 0  

Si M et M’ ont confondus on a  M=M' si z=z' ca donne
  z'=(a za+b zb +z)/(1+a+b)=z d'ou (1+a+b)z=a za+ b zb +z
d'ou (a+b) z = a za + b zb soit
z=(a za +b zb)(a+b)
on reconnait M barycentre de (A,a) (B,b)

  on note G et son affixe zg  
b)Exprimer z'-zg en fonction de z-zg .En deduire que M' et l'image
de M par une application que l'on determinera