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nombres complexes
Bonjour!
j'ai un exercice sur les complexes et je n'arrive rien à faire alors
si vous pouvez m'aider merci bcp! :
1a/ écrire (z^4)-1 sous la forme d'un produit de 4 polynomes du
premier degré en z
1b/ en déduire la résolution de l'équation z^4=1
2a/utiliser la question 1a pour résoudre dans C l'équation : ((z-1)/(z+1))^4=1
2b/ montrer que pour tout complexe différent de 1 : (z^4-1)/(z-1)=z^3+z^2+z+1
2c/ en déduire les solutions dans C de l'équation : ((z-1)/(z+1))^3+((z-1)/(z+1))^2+(z-1)/(z+1)+1=0
cela fait plusieurs fois que j'essais mais sans résultats aidez moi
svp merci d'avance!
1)a)
1 et -1 sont racines evidentes
donc z^4-1=(z-1)(z+1)(az²+bz+c)
on developpe on identifie il vient a=1 b=0 c=1
z^4-1=(z-1)(z+1)(z²+1) et dans C les racines de z²+1 sont i et -i
d'ou
z^4-1=(z-1)(z+1)(z-i)(z+i)
on aurait pu s'en douter!
b)
z^4=1 ssi z^4-1=0
donc si
z=1 ou z=i ou z=-1 ou z=-i
2)a)
((z-1)/(z+1))^4=1
4 solutions:
(z-1)/(z+1)=1
(z-1)/(z+1)=i
(z-1)/(z+1)=-1
(z-1)/(z+1)=-i
(z-1)=1(z+1)
(z-1)=i(z+1)
(z-1)=-1(z+1)
(z-1)=-i(z+1)
z(1-1)=1+1 imposible
z(1-i)=i+1
z(1+1)=-1+1
z(1+i)=1-i
z=(1+i)/(1-i)
z=0
z=(1-i)/(1+i)
sont les 3 soluces
b) d'apres 1) (z^4-1)/(z-1)=(z+1)(z-i)(z+i)
=(z+1)(z²+1)
=z^3+z+z²+1
c)
((z-1)/(z+1))^3+((z-1)/(z+1))^2+(z-1)/(z+1)+1=0
en posant U=(z-1)/(z+1)
U^3+u²+u+1=0
d'apres b) ca donne:
(u^4-1)/(u-1)=0
comme u différent de 1 ca donne:
u^4-1=0 et on est ramené au 2)a) d'ou les 3 soluces z=0 z=(1+i)/(1-i)
z=(1-i)/(1+i)
A+
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