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Nombres complexes
Bonjour à tous
Il me manque que la 4.b et la 4.c mais je vais vous donner l'énoncé
complet :
1. Soit le nombre complxe u = (( 
3)+i)/4
Déterminer une forme exponentielle : Ma réponse : (1/2)e^i 
/6
2. Soit f l'application de 
vers lui-même qui a tout
nombre complexe z associe :
f(z) = u(z-1-i)+1+i
Déterminer sous forme algébrique le nombre complexe w tel que f(w)=w : Ma réponse
: w = 1+i
3. Soit I, M, M' les points du plan d'affixes respectives
w, z, f(z).
On suppose que le point M est distinct du point I.
a) Démontrer que (vecteur IM, vecteur IM') = /6
+ 2k
b) Démontrer que IM' = (1/2) IM
4. a) Soit A0 le point d'affixe z0 = -1+2i
Calculer IA0. Ma réponse : IA0 = -2+i
b)On définit pour tout entier naturel n la suite (zn) par z(n+1)=f(zn)
et on désigne pâr An le point d'affixe zn.
Calculer la distance IAn en fonction de n.
c) Calculer la limite de IAn quand n tend vers l'infini.
Merci bcp à ceux qui pourront m'aider
1) u = (1/2)exp(Pi/6) OK vous avez juste.
2) f(z)=u(z-1-i)+1+i
= uz +(1+i)(1-u) ; cette écriture est plus simple
comme vous allez voir.
w étant constant par f donc w=f(w)
ssi w=uw+(1+i)(1-u)
ssi w(1-u)=(1+i)(1-u)
comme u est différent de 1 donc 1-u est non nul et on peut simplifier par
1-u.
w=1+i ; vous avez trouvé juste.
3) I:w
M: z
M':f(z)
a) IM a pour affixe z-w ; IM comme vecteur.
IM' a pour affixe f(z)-w
f(z)-w=f(z)-f(w) ; car w=f(w)
= a(z-w) ; la constante (1+i)(1-u) s'éllimine.
arg(f(z)-w)=arg (a) +arg(z-w)
arg(f(z)-w)- arg(z-w)=arg (a) = Pi/6 + 2kPI
(IM,IM')=arg(f(z)-w)- arg(z-w)=Pi/6 + 2kPI
b) ||IM'||=|f(z)-w|=|a(z-w)|=|a|*|z-w|=(1/2)||IM||
4) a) Ao : zo=-1+2i
IAo a pour affixe zo-w=-1+2i-1-i=-2+i; Ok vous avez trouvé juste.
b) z(n+1)=f(zn)
An : zn
le vecteur IAn a pour affixe zn-w=f(z(n-1))-f(w) car w=f(w).
donc
l'affixe du vecteur IAn est zn-w=a(z(n-1)-w)
||IAn||=|zn-w|= |a(z(n-1)-w)|=|a|*|z(n-1)-w|
donc
||IAn||=(1/2)||IA(n-1)||
(||IAn||) est donc une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme
||IAo||=|-2+i|=rc(5) , rc() = racine carré
donc ||IAn||=rc(5)/2^n
donc lim||IAn||=0 quand n tend vers +oo.
voila je vous remercie
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